1 Introdução

O minério de ferro e as terras raras contêm átomos ou íons que possuem momentos magnéticos permanentes (L T Baczewski 1993). As propriedades magnéticas dos materiais magnéticos são causadas pelo spin e movimento orbital dos elétrons. Visto que lidamos com partículas subatômicas, há necessidade da teoria quântica do momento angular para se determinar o momento magnético de materiais magnéticos. Para recordar pontos importantes, sugiro a leitura destes artigos. Vamos falar hoje sobre o momento magnético e aprender a determinar seu valor através dos números quânticos de spin \((S)\), de momento angular orbital \((L)\) e de momento angular total \((J)\).

2 Momento magnético

A figura 2.1 mostra \( \mathbf{L} \) (o momento angular orbital), \( \mathbf{S} \) (o spin), \( \mathbf{J} \) (o momento angular total), \(\boldsymbol\mu / \gamma_L\) (o momento magnético dividido pela razão giromagnética) e \(\boldsymbol\mu _J / \gamma _L\) (uma componente do momento magnético, porém, na direção do momento angular total).

Figura 2.1: O momento total é a soma do momento orbital com o momento de spin. O momento magnético não dispara paralelo ao momento total.

Os operadores vetoriais da figura acima se relacionam da seguinte maneira:

\[\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} . \tag{2.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \frac{\boldsymbol\mu}{\gamma _ L} = \mathbf{L} + 2 \mathbf{S} . \tag{2.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \frac{\boldsymbol\mu _ J}{\gamma _ L} = g \mathbf{J} . \tag{2.3} \end{equation}\]

O módulo do momento angular total é:

\[\begin{equation} | \mathbf{J} | = \hbar \sqrt{J(J + 1)} . \tag{2.4} \end{equation}\]

Por isso, o módulo de (2.3) é:

\[\begin{equation} \left| \frac{\boldsymbol\mu _ J}{\gamma _ L} \right| = g \hbar \sqrt{J(J + 1)} . \tag{2.5} \end{equation}\]

Na equação acima, reconhecendo que \(|\gamma _ L| \hbar = \mu_B\) (magneton de Bohr), obtém-se:

\[\begin{equation} \frac{| \boldsymbol\mu _ J |}{\mu _ B} = g \sqrt{J(J + 1)} . \tag{2.6} \end{equation}\]

E a expressão do fator de Landé depende dos números quânticos \(S\), \(L\) e \(J\):

\[\begin{equation} g = \frac{3}{2} + \frac{S(S + 1) − L(L + 1)}{2J(J + 1)} . \tag{2.7} \end{equation}\]

A próxima seção mostrará como determinar esses números quânticos. Assim, poderemos determinar o fator de Landé (2.7) e o momento magnético (2.6).

3 Determinação do momento magnético

Em um átomo, um elétron fica acomodado em uma camada \((n)\), em uma subcamada \((n,l)\) e em um orbital \((n,l,m_l)\). Os possíveis valores desses números quânticos são:

\[\begin{equation} \begin{aligned} n &= 1, 2, 3, 4, \dots \\ l &= 0, 1, 2, 3, \dots , n-1 \\ m _ l &= l, l-1, \dots , -l+1, -l \end{aligned} \tag{3.1} \end{equation}\]

Acrescente o fato do elétron possuir spin \((s)\) com projeção–\(z\) \((m_s)\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} s &= \tfrac{1}{2} \\ m _ s &= \pm \tfrac{1}{2} \end{aligned} \tag{3.2} \end{equation}\]

Isso quer dizer que são permitidos dois elétrons em cada órbita \((n,l,m_l,m_s)\).

Há uma convensão de chamar os valores de \(l\) por letras:

\[\begin{equation} \begin{aligned} l = 0 \ &\to \ s \\ l = 1 \ &\to \ p \\ l = 2 \ &\to \ d \\ l = 3 \ &\to \ f \\ \vdots \end{aligned} \tag{3.3} \end{equation}\]

As subcamadas comportam um número limitado de elétrons. Por exemplo, a subcamada \(3d\) possui 5 orbitais: \(m_l=2,1,0,-1,-2\). Se cada orbital aceita dois elétrons com spins opostos, então, essa subcamada pode acomodar até 10 elétrons — escreve-se \(3d^{10}\). A subcamada \(4f\) pode acomodar até 14 elétrons \((3d^{14})\), isso porque contém 7 orbitais: \(m_l=3,2,1,0,-1,-2,-3\).

Os átomos dos materiais magnéticos do grupo do ferro (Sc–Cu) e do grupo das terras raras (Ce–Lu) possuem muitos elétrons, suas subcamadas, \(3d\) e \(4f\), respectivamente, ficam parcialmente preenchidas. Para lidar com essa situação, Russell e Saunders (H N Russell 1925) consideraram que os momentos orbitais dos elétrons se combinam para resultar em um momento orbital atômico, o mesmo acontecendo com os spins dos elétrons, que se combinam para resultar em um spin atômico:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{L} &= \sum \mathbf{l} \\ \mathbf{S} &= \sum \mathbf{s} \end{aligned} \tag{3.4} \end{equation}\]

Ademais, \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \) também se combinam (2.1) para resultar em um momento angular total atômico, \( \mathbf{J} \). As somas (3.4) implicam que as componentes \(z\) dos momentos orbitais e dos spins dos elétrons também se combinam:

\[\begin{equation} \begin{aligned} M _ L &= \sum m _ {l} \\ M _ S &= \sum m _ {s} \end{aligned} \tag{3.5} \end{equation}\]

O procedimento (3.5) pode ser realizado nas subcamadas de um átomo. É fácil mostrar que as subcamadas preenchidas por completo resultam em somas iguais a zero. Devemos, então, analisar as subcamadas incompletas. A figura 3.1 mostra como efeturar essas somas usando como exemplo as subcamadas \(3d^2\) e \(3d^7\). As duas subcamadas não estão preenchidas por completo, porém, há uma diferença marcante: a subcamada \(3d^2\) está menos da metade cheia e a subcamada \(3d^7\) está mais da metade cheia. Isso afeta a maneira de se determinar o momento angular total. De acordo com uma regra de Hund:

O momento angular total é \(J=|L−S|\) quando a subcamada está menos da metade cheia, e \(J=L+S\) quando a subcamada está metade ou mais da metade cheia.

Outra regra de Hund diz que os elétrons tendem a ocupar orbitais diferentes para reduzir sua repulsão eletrostática e que o valor de \(L\) é:

\[\begin{equation} L = {\rm max} \{M _ L\} . \tag{3.6} \end{equation}\]

Por isso, os dois elétrons da subcamada \(3d^2\) não escolhem os orbitais \(m_l=1,0\) \((M_L=1)\), resolvem, sim, se estabelecerem nos osbitais \(m_l=2,1\) \((M_L=3)\).

E mais outra regra de Hund diz que os spins dos elétrons em orbitais diferentes são paralelos e que o valor de \(S\) é:

\[\begin{equation} S = {\rm max} \{M _ S\} . \tag{3.7} \end{equation}\]

Por isso, os dois elétrons da subcamada \(3d^2\) não são os com spins \(m_s=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\) \((M_S=0)\), mas, sim, são os com spins \(m_s=\frac{1}{2},\frac{1}{2}\) \((M_S=1)\).

Figura 3.1: Determinação dos números quânticos \(L\), \(S\) e \(J\) para as subcamadas \(3d^2\) e \(3d^7\).

Tendo em mãos os valores de \(S\), \(L\) e \(J\) —veja novamente a figura 3.1—, o fator de Landé (2.7) é assim determinado:

\[\begin{equation} \begin{aligned} 3d^2 &\to g=\frac{3}{2} +\frac{(1)(1 + 1) − (3)(3 + 1)}{2(2)(2 + 1)} = 0.667 \\ 3d^7 &\to g=\frac{3}{2} +\frac{(\frac{3}{2})(\frac{3}{2}+1) − (3)(3 + 1)}{2(\frac{9}{2})(\frac{9}{2}+1)} = 1.333 \end{aligned} \tag{3.8} \end{equation}\]

Por fim, determina-se o momento magnético do átomo no estado fundamental (2.6):

\[\begin{equation} \begin{aligned} 3d^2 &\to \frac{|\boldsymbol\mu _ J|}{\mu _ B} = (0.667) \sqrt{ (2)(2 + 1) } \implies |\boldsymbol\mu _ J| = 1.63\, \mu _ B \\ 3d^7 &\to \frac{|\boldsymbol\mu _ J|}{\mu _ B} = (1.333) \sqrt{ (\tfrac{9}{2})(\tfrac{9}{2}+1) } \implies |\boldsymbol\mu _ J| = 6.63\, \mu _ B \end{aligned} \tag{3.9} \end{equation}\]

E, como foi dito, os valores (3.9) se referem ao momento magnético na direção de \( \mathbf{J} \), conforme ilustrado na figura 2.1.

4 Conclusão

Você pode usar o procedimento da figura 3.1 para determina o momento magnético da série \(3d^{1}\) até \(3d^{10}\); também da série \(4f^{1}\) até \(4f^{14}\). Olhando uma tabela periódica, principalmente no bloco dos metais de transição (grupo do ferro: Sc–Cu) e no do bloco dos lantanídeos (grupo das terras raras: Ce–Lu), você vai conserguir identificar os elementos dessas séries. Por exemplo, a configuração eletrônica do \(\rm Co\) (cobalto) é: \([{\rm Ar}] 3d^{7} 4s^{2}\). Isso quer dizer que o íon \({\rm Co}^{2+}\) tem configuração: \([{\rm Ar}] 3d^{7}\).