1 Introdução
Oscilador harmônico na picture de Heisenberg resolve o oscilador harmônico na formulação de Heisenberg (I J R Aitchison 2004). Para tal, utiliza a equação de movimento:
\[\begin{equation} \frac{dG}{dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{[G,H]}{i\hbar} . \tag{1.1} \end{equation}\]
Geralmente, o tempo não é explícito na fórmula de \(G\) e a derivada parcial desse operador é zero. Daí, a equação (1.1) se torna mais simples:
\[\begin{equation} \dot{G} = \frac{[G,H]}{i\hbar} . \tag{1.2} \end{equation}\]
No artigo acima, trabalhamos com o hamiltoniano que descreve o movimento unidimensional de uma partícula de massa \(m\) submetida por uma força restauradora:
\[\begin{equation} H = \tfrac{1}{2m} p^2 + \tfrac{m}{2} \omega^2 q^2 . \tag{1.3} \end{equation}\]
Agora, vamos trabalhar com o hamiltoniano de Caldirola–Kanai (Caldirola 1941) , (Kanai 1948), que incorpora, ao hamiltoniano (1.3), o efeito de uma força de atrito através de um parâmetro de fricção \(\gamma\):
\[\begin{equation} H = e^{-\gamma t} \tfrac{1}{2m} p^2 + e^{+\gamma t} \tfrac{m}{2} \omega^2 q^2 . \tag{1.4} \end{equation}\]
2 Modelo CK
O modemo de Caldirola–Kanai, conhecido como modelo CK, trata da dissipação de energia em sistemas quânticos. Utilizando a equação de movimento (1.2) e o hamiltoniano (1.4), vamos determinar a evolução temporal do operador de coordenada, \(q(t)\), e a evolução temporal do operador de momento linear, \(p(t)\), de um oscilador harmônico que dissipa energia para um meio ambiente viscoso, caracterizado pelo parâmetro de fricção \(\gamma\). O meio \(\gamma\) pode ser um gás de fundo que cerca o oscilador; e o oscilador pode ser um átomo aprisionado nesse meio; então, a cada oscilação, o átomo dissipar energia para o gás de fundo. Nosso primeiro passo é desenvolver o comutador coordenada–hamiltoniano:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ q, H \right] &= [q, \tfrac{1}{2m} p^2 e^{-\gamma t}] + [q, \tfrac{m}{2} \omega^2 q^2 e^{+\gamma t} ] \\ &= \tfrac{1}{2m} e^{-\gamma t} [q, p^2] + \tfrac{m}{2} \omega^2 e^{+\gamma t} [q, q^2] \\ &= \tfrac{1}{2m} e^{-\gamma t} 2p[q, p] + 0 \\ &= \frac{e^{-\gamma t}}{m} pi\hbar , \end{aligned} \tag{2.1} \end{equation}\]
que gera a equação de movimento da coordenada:
\[\begin{equation} \dot{q} = \frac{[q,H]}{i\hbar} = \frac{e^{-\gamma t}}{m} p . \tag{2.2} \end{equation}\]
Nessas e em outras passagens matemáticas é importante lembrar:
A condição quântica entre os operadores de coordenada e de momento linear:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ q,p \right] &= i\hbar \\ \left[ p,q \right] &= -i\hbar \\ \left[ q,q \right] &= \left[ p,p \right] = 0 \end{aligned} \tag{2.3} \end{equation}\]
E estas comutações:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ a, bc \right] &= [a,b]c + b[a,c] \\ \left[ a, b^2 \right] &= 2b[a,b] \end{aligned} \tag{2.4} \end{equation}\]
Nosso segundo passso é desenvolver o comutador momento–hamiltoniano:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ p, H \right] &= [p, \tfrac{1}{2m} p^2 e^{-\gamma t}] + [p, \tfrac{m}{2} \omega^2 q^2 e^{+\gamma t} ] \\ &= \tfrac{1}{2m} e^{-\gamma t} [p, p^2] + \tfrac{m}{2} \omega^2 e^{+\gamma t} [p, q^2] \\ &= 0 + \tfrac{m}{2} \omega^2 e^{+\gamma t} 2q[p, q] \\ &= -m \omega^2 e^{+\gamma t} qi\hbar , \end{aligned} \tag{2.5} \end{equation}\]
que gera a equação de movimento do momento:
\[\begin{equation} \dot{p} = \frac{[p,H]}{i\hbar} = -m \omega^2 e^{+\gamma t} q . \tag{2.6} \end{equation}\]
Equação diferencial da coordenada:
Vamos inverter a equação (2.2):
\[\begin{equation} p = e^{+\gamma t} m\dot{q} . \tag{2.7} \end{equation}\]
Derivar a equação (2.2):
\[\begin{equation} \ddot{q} = \frac{e^{-\gamma t}}{m} \left( -\gamma p + \dot{p} \right) . \tag{2.8} \end{equation}\]
E substituir \(p\) (2.7) e \(\dot{p}\) (2.6) em \(\ddot{q}\) (2.8):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{q} &= \frac{e^{-\gamma t}}{m} \left( -\gamma e^{+\gamma t} m\dot{q} - m\omega^2 e^{+\gamma t} q \right) \\ &= -\gamma \dot{q} - \omega^2 q . \end{aligned} \tag{2.9} \end{equation}\]
O que resulta em:
\[\begin{equation} \ddot{q} + \gamma \dot{q} + \omega^2 q = 0 . \tag{2.10} \end{equation}\]
Equação diferencial do momento:
Agora vamos inverter a equação (2.6):
\[\begin{equation} q = -\frac{e^{-\gamma t}}{m\omega^2} \dot{p} . \tag{2.11} \end{equation}\]
Derivar da equação (2.6):
\[\begin{equation} \ddot{p} = -m\omega^2 e^{+\gamma t} \left( \gamma q + \dot{q} \right) . \tag{2.12} \end{equation}\]
E substituir \(q\) (2.11) e \(\dot{q}\) (2.2) em \(\ddot{p}\) (2.12):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{p} &= -m\omega^2 e^{+\gamma t} \left( -\gamma \frac{e^{-\gamma t}}{m\omega^2} \dot{p} + \frac{e^{-\gamma t}}{m} p \right) \\ &= \gamma \dot{p} -\omega^2 p . \end{aligned} \tag{2.13} \end{equation}\]
O que resulta em:
\[\begin{equation} \ddot{p} - \gamma \dot{p} + \omega^2 p = 0 . \tag{2.14} \end{equation}\]
As equações (2.10) e (2.14) são resolvidas com a técnica de reescrever essas equações com variáveis complexas (escritas com letras maiúsculas):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{Q} + \gamma \dot{Q} + \omega^2 Q &= 0 ,\\ \ddot{P} - \gamma \dot{P} + \omega^2 P &= 0 . \end{aligned} \tag{2.15} \end{equation}\]
Daí, fazer toda matemática usando as variáveis complexas — o que torna a nossa vida mais fácil! No final das contas, as soluções físicas são obtidas tomando a parte real (ou a parte imaginária) de cada solução complexa:
\[\begin{equation} \begin{aligned} q &= {\rm Re} (Q) \ \ \ {\rm ou} \ \ \ {\rm Im} (Q) ,\\ p &= {\rm Re} (P) \ \ \ {\rm ou} \ \ \ {\rm Im} (P) . \end{aligned} \tag{2.16} \end{equation}\]
Uma solução simples para a equação da coordenada:
A solução que vamos escolher para a coordenada complexa será do tipo \(Q=e^{Rt}\). Fazendo \(\dot{Q}\) e \(\ddot{Q}\), e substituindo em (2.15), obtém-se:
\[\begin{equation} R^2 + \gamma R + \omega^2 = 0 . \tag{2.17} \end{equation}\]
A solução dessa tradicional equação de segundo grau é:
\[\begin{equation} R = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - 4\omega^2}}{2} . \tag{2.18} \end{equation}\]
Ou:
\[\begin{equation} R = -\frac{\gamma}{2} \pm \sqrt{\frac{\gamma^2}{4} - \omega^2} . \tag{2.19} \end{equation}\]
Visto que a procura é por oscilação subamortecida \((\gamma^2/4 < \omega^2)\), em que a fricção não neutraliza o movimento bruscamente, invertemos a raiz (2.19) para o resultado ser negativo:
\[\begin{equation} R = -\frac{\gamma}{2} \pm i \sqrt{\omega^2 - \frac{\gamma^2}{4}} . \tag{2.20} \end{equation}\]
Agora podemos chamar:
\[\begin{equation} \overline{\omega} = \sqrt{ \omega^2 - \frac{\gamma^2}{4} } , \tag{2.21} \end{equation}\]
e escrever:
\[\begin{equation} R = -\frac{\gamma}{2} \pm i \overline{\omega} . \tag{2.22} \end{equation}\]
O resultado (2.22) mostra que a solução complexa é o produto destas exponenciais:
\[\begin{equation} Q = e^{-\frac{\gamma }{2}t} e^{\pm i\overline{\omega}t} , \tag{2.23} \end{equation}\]
o que implica na seguinte solução física:
\[\begin{equation} q = e^{-\frac{\gamma}{2}t}\ {\rm Re} \Big( e^{\pm \overline{\omega} t} \Big) . \tag{2.24} \end{equation}\]
Portanto, a evolução temporal do operador de coordenada é:
\[\begin{equation} q (t) = e^{-\frac{\gamma}{2}t} \cos(\overline{\omega}t) . \tag{2.25} \end{equation}\]
O efeito da fricção \(\gamma\) afeta a oscilação, pois, o oscilador abandona a sua frequência natural \(\omega\), e passa a oscilar com a frequência reduzida \(\overline{\omega}\); além da amplitude de oscilação diminuir exponencialmente.
Uma solução simples para a equação do momento:
A solução complexa será do tipo \(P=e^{Gt}\). Substituindo em (2.15), obtém-se:
\[\begin{equation} G^2 - \gamma G + \omega^2 = 0 , \tag{2.26} \end{equation}\]
cuja solução é:
\[\begin{equation} G = +\frac{\gamma}{2} \pm \sqrt{\frac{\gamma^2}{4} - \omega^2} . \tag{2.27} \end{equation}\]
Para oscilação subamortecida:
\[\begin{equation} G = +\frac{\gamma}{2} \pm i \overline{\omega} , \tag{2.28} \end{equation}\]
com:
\[\begin{equation} \overline{\omega} = \sqrt{ \omega^2 - \frac{\gamma^2}{4} } . \tag{2.29} \end{equation}\]
Então, a solução complexa é:
\[\begin{equation} G = e^{+\frac{\gamma }{2}t} e^{\pm i\overline{\omega}t} . \tag{2.30} \end{equation}\]
A parte real de (2.30) repete a solução cosseno da coordenada (ver quadro anterior). Portanto, a solução física do momento será:
\[\begin{equation} p = e^{+\frac{\gamma}{2}t}\ {\rm Im} \Big( e^{\pm \overline{\omega} t} \Big) , \tag{2.31} \end{equation}\]
ou:
\[\begin{equation} p = e^{+\frac{\gamma}{2}t} \Big( \pm \sin(\overline{\omega}t) \Big) . \tag{2.32} \end{equation}\]
Visto que o momento é a derivada da posição, e a posição é do tipo cosseno, dentre as 2 soluções acima, é conveniente escolher a negativa. Portanto, a evolução temporal do operador de momento linear é:
\[\begin{equation} p (t) = e^{+\frac{\gamma}{2}t} \Big( -\sin(\overline{\omega}t) \Big) . \tag{2.33} \end{equation}\]
As Figs. 2.1, 2.2 e 2.3 foram construídas para \(\gamma=0.2\). Houve simplificações numéricas: ajustou-se \(m=1\) e \(\omega=1\). Isso implicou em \(\overline{\omega}=0.995\). Apresenta-se o comportamento dos seguintes operadores de Heisenberg: coordenada, momento linear, energia potencial, energia cinética e energia total.
Figura 2.1: Oscilação da coordenada (vermelho). Fator de amortecimento = 0.2.
Figura 2.2: Oscilação do momento (verde). Fator de amortecimento = 0.2.
Figura 2.3: Oscilação da energia potencial (vermelho) e da energia cinética (verde). A energia total permanece constante (azul). Fator de amortecimento = 0.2.
A Fig. 2.1 está de acordo com o que pensamos sobre um sistema dissipativo. Durante a oscilação, a amplitude da coordenada diminui de valor (tende a zero). Porém, a figura 2.2 mostra que a amplitude do momento está aumentando. E a figura 2.3 deixa claro que a energia total não está se dissipando: se apresenta como uma constante de movimento.
o modelo FALHA em explicar um sistema quântico dissipativo.
O mesmo comportamento foi observado por (Segovia-Chaves 2018): FIGURE 2. Foi dito que isso se deve ao aumento exponencial da massa do oscilador de Caldirola-Kanai. De fato, podemos entender o que foi dito, fazendo um ajuste no hamiltoniano (1.4) (S K Bose 1985):
\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2me^{+\gamma t} } p^2(t) + \tfrac{me^{+\gamma t}}{2} \omega^2 q^2(t) . \tag{2.34} \end{equation}\]
A chamar:
\[\begin{equation} m(t) = m e^{+\gamma t} , \tag{2.35} \end{equation}\]
obtém-se:
\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2m(t) } p^2(t) + \tfrac{m(t)}{2} \omega^2 q^2(t) . \tag{2.36} \end{equation}\]
O hamiltoniano (2.36) é analogo ao hamiltoniano do oscilador harmônico sem atrito (1.3), porém, com uma massa que cresce exponencialmente com o passar do tempo. Nessa interpretação, o oscilador fica mais “pesado” a cada oscilação.
3 Modelo CK com duas fricções
O modelo dissipativo de Caldirola–Kanai, da Seção 2, gera estes operadores de coordenada e de momento:
\[\begin{equation} \begin{aligned} q (t) &= e^{-\frac{\gamma}{2}t} \cos(\overline{\omega}t) ,\\ p (t) &= e^{+\frac{\gamma}{2}t} \Big( -\sin(\overline{\omega}t) \Big) . \end{aligned} \tag{3.1} \end{equation}\]
O que tornou esse modelo falho, foi o momento crescer por causa do termo \(e^{+\frac{\gamma}{2}t}\). Se a exponencial fosse decrescente, como na coordenada, o modelo seria dissipativo e a energia total diminuiria com o tempo. Visando “reparar as coisas,” pensei em alterar o hamiltoniano (1.4). A minha ideia é analisar o modelo CK, porém, com duas fricções:
\[\begin{equation} H(t) = e^{-a\gamma t} \tfrac{1}{2m} p^2 + e^{+b\gamma t} \tfrac{m}{2} \omega^2 q^2 . \tag{3.2} \end{equation}\]
As constantes \(a\) e \(b\) são números reais. O estudo segue o procedimento e a linguagem da Seção 2. Nosso primeiro passo é desenvolver o comutador coordenada–hamiltoniano:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ q, H \right] &= [q, \tfrac{1}{2m} p^2 e^{-a\gamma t}] + [q, \tfrac{m}{2} \omega^2 q^2 e^{+b\gamma t} ] \\ &= \tfrac{1}{2m} e^{-a\gamma t} [q, p^2] + \tfrac{m}{2} \omega^2 e^{+b\gamma t} [q, q^2] \\ &= \tfrac{1}{2m} e^{-a\gamma t} 2p[q, p] + 0 \\ &= \frac{e^{-a\gamma t}}{m} pi\hbar , \end{aligned} \tag{3.3} \end{equation}\]
que gera a equação de movimento da coordenada:
\[\begin{equation} \dot{q} = \frac{[q,H]}{i\hbar} = \frac{e^{-a\gamma t}}{m} p . \tag{3.4} \end{equation}\]
Nosso segundo passso é desenvolver o comutador momento–hamiltoniano:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ p, H \right] &= [p, \tfrac{1}{2m} p^2 e^{-a\gamma t}] + [p, \tfrac{m}{2} \omega^2 q^2 e^{+b\gamma t} ] \\ &= \tfrac{1}{2m} e^{-a\gamma t} [p, p^2] + \tfrac{m}{2} \omega^2 e^{+b\gamma t} [p, q^2] \\ &= 0 + \tfrac{m}{2} \omega^2 e^{+b\gamma t} 2q[p, q] \\ &= -m \omega^2 e^{+b\gamma t} qi\hbar , \end{aligned} \tag{3.5} \end{equation}\]
que gera a equação de movimento do momento:
\[\begin{equation} \dot{p} = \frac{[p,H]}{i\hbar} = -m \omega^2 q e^{+b\gamma t} . \tag{3.6} \end{equation}\]
Equação diferencial da coordenada:
Inverter a equação (3.4):
\[\begin{equation} p = m \dot{q} e^{+a\gamma t} . \tag{3.7} \end{equation}\]
Derivar a equação (3.4):
\[\begin{equation} \ddot{q} = \frac{e^{-a\gamma t}}{m} \left( -a\gamma p + \dot{p} \right) . \tag{3.8} \end{equation}\]
Substituir \(p\) (3.7) e \(\dot{p}\) (3.6) em \(\ddot{q}\) (3.8):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{q} &= \frac{e^{-a\gamma t}}{m} \left( -a \gamma m \dot{q} e^{+a\gamma t} - m \omega^2 q e^{+b\gamma t} \right) \\ &= -a \gamma \dot{q} - \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} q . \end{aligned} \tag{3.9} \end{equation}\]
O que resulta em:
\[\begin{equation} \ddot{q} + a \gamma \dot{q} + \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} q = 0 . \tag{3.10} \end{equation}\]
Uma solução simples para a equação da coordenada:
Usar esta coordenada complexa, \(Q=e^{Rt}\), em (3.10):
\[\begin{equation} R^2 + a \gamma R + \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} = 0 . \tag{3.11} \end{equation}\]
Solução:
\[\begin{equation} R = \frac{-a\gamma \pm \sqrt{ (a\gamma)^2 - 4\omega^2 e^{(b-a)\gamma t} } }{2} . \tag{3.12} \end{equation}\]
Ou:
\[\begin{equation} R = -\frac{a\gamma}{2} \pm \sqrt{ \frac{a^2 \gamma^2}{4} - \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} } . \tag{3.13} \end{equation}\]
Visto que a procura é por oscilação subamortecida, invertemos a raiz (3.13) para o resultado ser negativo:
\[\begin{equation} R = -\frac{a\gamma}{2} \pm i\sqrt{ \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} - \frac{a^2 \gamma^2}{4} } . \tag{3.14} \end{equation}\]
Vamos chamar:
\[\begin{equation} \Omega _ {a} = \sqrt{ \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} - \frac{a^2 \gamma^2}{4} } , \tag{3.15} \end{equation}\]
para escrever (3.14) como:
\[\begin{equation} R = -\frac{a\gamma}{2} \pm i\Omega _ {a} . \tag{3.16} \end{equation}\]
Em fim, a coordenada complexa é:
\[\begin{equation} Q = e^{-\frac{a\gamma }{2}t} e^{\pm i \Omega _ {a} t} , \tag{3.17} \end{equation}\]
e a coordenada física é:
\[\begin{equation} q = e^{-\frac{a\gamma}{2}t}\ {\rm Re} \Big( e^{\pm \Omega _ {a} t} \Big) , \tag{3.18} \end{equation}\]
ou:
\[\begin{equation} q (t) = e^{-\frac{a\gamma}{2}t} \cos(\Omega _ {a} t) . \tag{3.19} \end{equation}\]
Equação diferencial do momento:
Inverter a equação (3.6):
\[\begin{equation} q = -\frac{e^{-b\gamma t}}{m\omega^2} \dot{p} . \tag{3.20} \end{equation}\]
Derivar a equação (3.6):
\[\begin{equation} \ddot{p} = -m\omega^2 e^{+b\gamma t} \left( b\gamma q + \dot{q} \right) . \tag{3.21} \end{equation}\]
Substituir \(q\) (3.20) e \(\dot{q}\) (3.4) na equação \(\ddot{p}\) (3.21):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{p} &= -m\omega^2 e^{+b\gamma t} \left( -b\gamma \frac{e^{-b\gamma t}}{m\omega^2} \dot{p} + \frac{e^{-a\gamma t}}{m} p \right) \\ &= b\gamma \dot{p} -\omega^2 e^{(b-a)\gamma t} p . \end{aligned} \tag{3.22} \end{equation}\]
O que resulta em:
\[\begin{equation} \ddot{p} - b\gamma \dot{p} + \omega^2 e^{(b-a)} p = 0 . \tag{3.23} \end{equation}\]
Uma solução simples para a equação do momento:
Usar este momento complexo, \(P=e^{Gt}\), em (3.23):
\[\begin{equation} G^2 - b \gamma G + \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} = 0 . \tag{3.24} \end{equation}\]
Solução:
\[\begin{equation} G = +\frac{b\gamma}{2} \pm \sqrt{ \frac{b^2 \gamma^2}{4} - \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} } . \tag{3.25} \end{equation}\]
Inverter a raiz de (3.25) e chamar o resultado de:
\[\begin{equation} \Omega _ {b} = \sqrt{ \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} - \frac{b^2 \gamma^2}{4} } . \tag{3.26} \end{equation}\]
Assim:
\[\begin{equation} G = +\frac{b\gamma}{2} \pm i\Omega _ {b} , \tag{3.27} \end{equation}\]
e o momento complexo é:
\[\begin{equation} P = e^{+\frac{b\gamma }{2}t} e^{\pm i \Omega _ {b} t} . \tag{3.28} \end{equation}\]
Por fim, acompanhando a escolha na Seção 2, a solução física do momento é:
\[\begin{equation} p (t) = e^{+\frac{b\gamma}{2}t} \Big( -\sin(\Omega _ {b} t) \Big) . \tag{3.29} \end{equation}\]
É prátivo escrever um resumo com os operadores de coordenada e de momento:
\[\begin{equation} \begin{aligned} q (t) &= \cos(\Omega _ {a} t) e^{-\frac{a\gamma}{2}t} ,\\ p (t) &= -\sin(\Omega _ {b} t) e^{ \frac{b\gamma}{2}t} , \end{aligned} \tag{3.30} \end{equation}\]
e com as frequêcias de oscilações:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \Omega _ {a} &= \sqrt{ \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} - \frac{(a\gamma)^2}{4} } ,\\ \Omega _ {b} &= \sqrt{ \omega^2 e^{(b-a)\gamma t} - \frac{(b\gamma)^2}{4} } . \end{aligned} \tag{3.31} \end{equation}\]
Analisando essas frequências, se \(a=b=1\), as fórmulas (3.31) regridem para (2.21): \(\Omega_a=\Omega_b=\overline{\omega}\). As outras situações são:
\[\begin{equation} \begin{aligned}[c] & b > a \\ & b < a \end{aligned} \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{aligned}[c] & e^{(b-a)\gamma t} \to \infty \\ & e^{(b-a)\gamma t} \to 0 \end{aligned} \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{aligned}[c] & \Omega \to \infty \\ & \Omega \to {\small \rm NaN} \end{aligned} \tag{3.32} \end{equation}\]
Nota:
\(\small \rm NaN\) (Not a Number) é uma palavra da linguagem R.
Em (3.32), avisa que o usuário tentou obter a raiz quadrada de um número negativo.
3.1 Exemplo 1
Os gráficos 3.1, 3.2 e 3.3 são construídos para \(a=1\), \(b=-1\) e \(\gamma=0.2\). Ajustou-se a frequência natural em \(\omega=1\). A coordenada e o momento (3.30) e as frequêcias (3.31) são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} q (t) &= \cos(\Omega _ {a} t) e^{-\frac{\gamma}{2}t} ,\\ p (t) &= -\sin(\Omega _ {b} t) e^{-\frac{\gamma}{2}t} , \end{aligned} \tag{3.33} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \begin{aligned} \Omega _ {a} &= \sqrt{ e^{-2\gamma t} - \frac{\gamma^2}{4} } ,\\ \Omega _ {b} &= \sqrt{ e^{-2\gamma t} - \frac{\gamma^2}{4} } , \end{aligned} \tag{3.34} \end{equation}\]
sendo que essas frequências se tornam \(\small \rm NaN\) após 11.5 s.
O hamiltoniano (3.2), para \(m=1\), tem o aspécto:
\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2} p^2 e^{-\gamma t} + \tfrac{1}{2} q^2 e^{-\gamma t} . \tag{3.35} \end{equation}\]
As frequências de oscilação diminuem com o tempo de acordo com a figura 3.1. Com a possibilidade de manipular duas fricções no hamiltoniano CK, a figura 3.2 mostra que a amplitude da coordenada e a amplitude do momento tendem a zero. Como consequência, a figura 3.3 mostra que as amplitudes das energias cinética e potencial também tendem a zero, e, principalmente, o operador de energia total diminui com o tempo (não é uma constante de movimento). Esse comportamento está de acordo com o que pensamos sobre um modelo dissipativo: a cada oscilação, o oscilador perde energia para um meio ambiente viscoso. Como dissemos, o meio pode ser um gás de fundo que cerca o oscilador; o oscilador pode ser um átomo aprisionado nesse meio. Agora, a dissipação é causada por duas fontes de viscosidades, modeladas pelas fricções \(a\gamma\) e \(b\gamma\). Nesse modelo de dupla viscosidade, o movimento vê uma viscosidade e a força restauradora, outra.
Figura 3.1: a = 1, b = -1 e gamma = 0.2: frequência da coordenada (vermelho); frequência do momento (verde).
Figura 3.2: a = 1, b = -1 e gamma = 0.2: oscilação da coordenada (vermelho); oscilação do momento (verde).
Figura 3.3: a = 1, b = -1 e gamma = 0.2: oscilação da energia potencial (vermelho); oscilação da energia cinética (verde); há dissipação de energia total (azul).
Nesse exemplo, o oscilador foi cercado por um fundo áspero: \((a,b)=(1,-1)\). Isso permitiu pouca oscilação (11.5 s). Os próximos exemplos vão “suavizar as coisas.”
3.2 Exemplo 2
Os gráficos 3.4, 3.5 e 3.6 são construídos para \((a,b)=(0.1,-0.1)\) e \(\gamma=0.2\). As frequências se tornam \(\small \rm NaN\) após 230 s (~4 minutos). Segue a lista de equações graficadas.
Coordenada e momento (3.30):
\[\begin{equation} \begin{aligned} q (t) &= \cos(\Omega _ {a} t) e^{-0.01t} ,\\ p (t) &= -\sin(\Omega _ {b} t) e^{-0.01t} . \end{aligned} \tag{3.36} \end{equation}\]
Frequências (3.31):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \Omega _ {a} &= \sqrt{ e^{-0.04t} - 10^{-4} } ,\\ \Omega _ {b} &= \sqrt{ e^{-0.04t} - 10^{-4} } . \end{aligned} \tag{3.37} \end{equation}\]
Hamiltoniano (3.2):
\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2} p^2 e^{-0.02t} + \tfrac{1}{2} q^2 e^{-0.02t} . \tag{3.38} \end{equation}\]
Figura 3.4: a = 0.1, b = -0.1 e gamma = 0.2: frequência da coordenada (vermelho); frequência do momento (verde).
Figura 3.5: a = 0.1, b = -0.1 e gamma = 0.2: oscilação da coordenada (vermelho); oscilação do momento (verde).
Figura 3.6: a = 0.1, b = -0.1 e gamma = 0.2: oscilação da energia potencial (vermelho); oscilação da energia cinética (verde); há dissipação de energia total (azul).
Há dissipação de energia e, como diminuímos a fricção, o oscilador oscilou por muito mais tempo (comparado com o Exemplo 1). Existem algumas marcações nas figuras que serão explicadas no próximo exemplo.
3.3 Exemplo 3
Os gráficos 3.7, 3.8 e 3.9 são construídos para \((a,b)=(0.01,-0.01)\) e \(\gamma=0.2\). As frequências se tornam \(\small \rm NaN\) após 3450 s (~1 hora). Segue a lista de equações graficadas.
Coordenada e momento (3.30):
\[\begin{equation} \begin{aligned} q (t) &= \cos(\Omega _ {a} t) e^{-0.001t} ,\\ p (t) &= -\sin(\Omega _ {b} t) e^{-0.001t} . \end{aligned} \tag{3.39} \end{equation}\]
Frequências (3.31):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \Omega _ {a} &= \sqrt{ e^{-0.004t} - 10^{-6} } ,\\ \Omega _ {b} &= \sqrt{ e^{-0.004t} - 10^{-6} } . \end{aligned} \tag{3.40} \end{equation}\]
Hamiltoniano (3.2):
\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2} p^2 e^{-0.002t} + \tfrac{1}{2} q^2 e^{-0.002t} . \tag{3.41} \end{equation}\]
Nesse exemplo, quando o tempo passa pelo intervalo [475-500] segundos, centrado em 500 s, o oscilador não completa um ciclo total (extremidade–extremidade), faz a inversão em meio-ciclo (extremidade–posição de equilíbro). As outras oscilações ocorrem normalmente: invertem os movimentos nas extremidades dos percursos. Porém, a inversão atípica é feita ao redor da posição de equilíbrio: \(q=0\). O retorno pelas extremidades é realizada “num piscar de olhos.” Já a situação atípica necessita de mais tempo: 50 s. Durante esse intervalo, o momento linear estabiliza ao redor do máximo, \(p=-0.6\), quer dizer, o oscilador faz o retorno em posição de alta velocidade. O comportamento incomum é refletido no gráfico das energias. Durante os 50 segundos, a energia potencial se localiza em \(V=0\), e a energia cinética entre \(K=0.06\) e \(0.075\). Depois da oscilação atípica, o oscilador volta a oscilar normalmente, através das extremidades do percursor.
Figura 3.7: a = 0.01, b = -0.01 e gamma = 0.2: frequência da coordenada (vermelho); frequência do momento (verde).
Figura 3.8: a = 0.01, b = -0.01 e gamma = 0.2: oscilação da coordenada (vermelho); oscilação do momento (verde).
Figura 3.9: a = 0.01, b = -0.01 e gamma = 0.2: oscilação da energia potencial (vermelho); oscilação da energia cinética (verde); há dissipação de energia total (azul).
Voltando ao Exemplo 2, observa-se no gráfico 3.5 que o oscilador também realiza uma oscilação incomum por volta dos 50 segundos: faz um retorno antes de chegar na extremidade do percurso; por isso, realiza essa inversão com velocidade diferente de zero. Em inversões típicas, a velocidade na extremidade do percurso é zero: ver a marcação logo após 100 s.
4 Conclusão
A dissipação de energia por sistemas quânticos é um problema de grande complexidade. Os autores (Chung-In Um 2002), em um resumo com cerca de 130 páginas, fazem um “levantamento cronológico das várias abordagens para os osciladores harmônicos amortecidos linearmente, desde o ano de 1931 até meados da década de 1980.” Um problema apontado é que muitos desses modelos, incluindo o modelo Caldirola–Kanai (CK), violam o principal fundamento da física quântica: o princípio de incerteza de Heisenberg.
De acordo com o trabalho de (Segovia-Chaves 2018), ao utilizar o modelo CK, também observamos falhas na descrição do oscilador que dissipa energia para um meio viscoso — recorde as figuras 2.2 e 2.3. Foi, então, sugerido a utilização de 2 parâmetros de fricção: um para o movimento e outro para a força restauradora — recorde o hamiltoniano (3.2). Os exemplos nas seções 3.2 e 3.3 mostram que essa proposta gera oscilações atípicas, hora o retorno da oscilação ocorre antes de chegar na extremidade do percurso, hora, pela posição de equilíbrio — recorde as figuras 3.5 e 3.8, respectivamente.