Arte gráfica: o autor

Oscilador harmônico na $\mathfrak{picture}$ de $\mathfrak{Heisenberg}$

Veja como resolver o oscilador na formulação de Heisenberg, e mais, construir estados coerentes a partir de estados de fótons

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1 Introdução

A mecânica quântica pode ser estruturada na picture de Schrödinger: Quantisierung als eigenwertproblem, erste miteilung (Annalen Phys. 384, 361, 1926); ou na picture de Heisenberg: Über quantentheoretische umdeutung kinematischer und mechanischer beziehungen (Z. Phys. 33, 879–893, 1925).

Vendo as datas dos artigos, a formulação de Heisenberg veio primeiro que a de Schrödinger. Informações detalhadas sobre esses 2 artigos podem ser obtidas em (Anna Galler 2021) e (I J R Aitchison 2004).

Quando desenvolvida na formulação de Schrödinger, os operadores que representam variáveis da dinâmicas do movimento, não evoluem com o passar do tempo, a passagem do tempo afeta os estados ou funções de onda. Por outro lado, na formulação de Heisenberg, os operadores evoluem com o tempo e os estados são independentes do tempo. Por causa disso, a notação difere quanto ao uso do símbolo (t). Vamos tomar como exemplo o operador de momento linear e a função de onda:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \hat{p} ,\ \Psi(\vec{r},t) \ \ \ &\gets \ \ \ {\rm Schrödinger} ,\\ \hat{p} (t) ,\ \Psi(\vec{r}) \ \ \ &\gets \ \ \ {\rm Heisenberg} . \end{aligned} \tag{1.1} \end{equation}\]

Neste artigo, vamos resolver o oscilador harmônico na formulação de Heisenberg: determinar os operadores de coordenada e de momento linear, a energia total e algumas funções de onda dos estados de número de fótons. Depois, ver como construir estados coerentes a partir de estados de fótons.

2 Equações de movimento

Considere uma massa \(m\) sob influência de uma força elástica de constante elática \(k\) se deslocando \(q_{c}\) em torno de sua posição de equilíbrio e desenvolvendo momento linear \(p_{c}\). A energia total clássica \((c)\) desse oscilador harmônico é:

\[\begin{equation} E _ {c} = \frac{p _ {c}^2}{2m} + \frac{kq _ {c}^2}{2} . \tag{2.1} \end{equation}\]

A frequência angular se relaciona com a constante elástica por meio de \(\omega^2=k/m\).

O hamiltoniano do oscilador quântico é construído substituindo a posição clássica pelo operador de coordenada \((q_{c} \to q)\) e o momemto linear clássico pelo operador de momento linear \((p_{c} \to p)\):

\[\begin{equation} H = \frac{p^2}{2m} + \frac{kq^2}{2} . \tag{2.2} \end{equation}\]

A condição quântica entre os operadores coordenada e momento linear é \((\hbar=1)\):

\[\begin{equation} [q,p] = qp - pq = i . \tag{2.3} \end{equation}\]

As outras condições são:

\[\begin{equation} [q,q] = [p,p] = 0 . \tag{2.4} \end{equation}\]

O hamiltoniano (2.2) é na picture de Schrödinger (operadores independentes do tempo). Se o objetivo é trabalhar na picture de Heisenberg, deve-se escrever essa mesma equação enfarizando que agora os operadores são dinâmicos e evoluem com o tempo:

\[\begin{equation} H(t) = \frac{\Big( p(t) \Big)^2}{2m} + \frac{k\Big( q(t) \Big)^2}{2} . \tag{2.5} \end{equation}\]

No decorrer das explicações, quando for necessário destacar apenas o comportamento dos operadores de Heisenberg e outras funções, será considerado \(m=1\) e \(k=1\), o que implica em \(\omega=1\). Fazendo isso na equação (2.5), obtemos:

\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2} \Big( p(t) \Big)^2 + \tfrac{1}{2} \Big( q(t) \Big)^2 . \tag{2.6} \end{equation}\]

É claro! Tendo em mente que os operadores são dinâmicos, pela simplicidade, pode-se flexibilizar a escrita do símbolo (t).

Agora vamos destacar o ponto principal da formulação de Heisenberg. Um operador \(G\) evolui com o passar do tempo através desta equação (A Jannussis 1977):

\[\begin{equation} \frac{dG}{dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{[G,H]}{i\hbar} . \tag{2.7} \end{equation}\]

A equação diferencial (2.7) é chamada de equação de movimento de Heisenberg. Ela se parece muito com a equação de movimento de uma variável dinâmica clássica \((V)\):

\[\begin{equation} \frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial t} + \{ V , H \} . \tag{2.8} \end{equation}\]

Por causa dessa semelhança, os operadores são chamados de variáveis dinâmicas na formulação de Heisenberg.

A equação de movimento da coordenada é:

\[\begin{equation} \frac{dq}{dt} = \frac{\partial q}{\partial t} + \frac{[q,H]}{i\hbar} . \tag{2.9} \end{equation}\]

Vamos ajustar \(\hbar=1\) para simplificar a notação. O tempo não é explícito em \(q(t)\), nesse caso, a derivada parcial de \(q(t)\) é zero. Ficamos, então, com:

\[\begin{equation} i \dot{q} = [q,H] . \tag{2.10} \end{equation}\]

No arranjo de Heisenberg, o comutador determina a taxa de evolução temporal.

Continuando, é preciso lembrar da seguinte propriedade:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ a, bc \right] &= [a,b]c + b[a,c] ;\\ \left[ a, b^2 \right] &= 2b[a,b] ; \end{aligned} \tag{2.11} \end{equation}\]

para resolver:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ q, H \right] &= \tfrac{1}{2} [q, p^2] + \tfrac{1}{2} [q, q^2] \\ &= \tfrac{1}{2} 2p [q, p] + 0 \\ &= p i . \end{aligned} \tag{2.12} \end{equation}\]

A substituir (2.12) em (2.10):

\[\begin{equation} \dot{q} (t) = p (t) . \tag{2.13} \end{equation}\]

A evolução temporal do momento é a taxa de evolução temporal da coordenada.

E que dizer da taxa de evolução temporal do momento? A equação de movimento do momento linear é:

\[\begin{equation} i \dot{p} = [p,H] . \tag{2.14} \end{equation}\]

O comutador se resolve da seguinte maneira:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ p, H \right] &= \tfrac{1}{2} [p, p^2] + \tfrac{1}{2} [p, q^2] \\ &= 0 + \tfrac{1}{2} 2q [p, q] \\ &= - q i . \end{aligned} \tag{2.15} \end{equation}\]

A substituir (2.15) em (2.14):

\[\begin{equation} \dot{p} (t) = - q (t) . \tag{2.16} \end{equation}\]

A evolução temporal da coordenada é a taxa de evolução temporal do momento.

Vamos derivar a equação (2.13) e, com a ajuda da equação (2.16), obter:

\[\begin{equation} \ddot{q} (t) + q (t) = 0 . \tag{2.17} \end{equation}\]

A solução dessa equação pode ser um cosseno:

\[\begin{equation} q (t) = q (0) \cos t . \tag{2.18} \end{equation}\]

E, conforme (2.13), aceitar a solução cosseno é o mesmo que aceitar:

\[\begin{equation} p (t) = - q(0) \sin t . \tag{2.19} \end{equation}\]

O par (coordenada–momento) evolui no tempo executando oscilações harmônicas, porém, não evolui com a mesma fase — ver a Fig. 2.1.

Oscilações das variáveis dinâmicas _q_ (azul) e _p_ (vermelho).

Figura 2.1: Oscilações das variáveis dinâmicas q (azul) e p (vermelho).

As soluções (2.18) e (2.19) fazem parte do hamiltoniano (2.6):

\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2} \Big( -q(0)\sin t \Big)^2 + \tfrac{1}{2} \Big( q(0)\cos t \Big)^2 . \tag{2.20} \end{equation}\]

Conclui-se que a variável dinâmica de energia total não evolui com a passagem do tempo (é uma constante de movimento):

\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2} \Big( q(0) \Big)^2 . \tag{2.21} \end{equation}\]

De fato, a equação de movimento da energia total comprova esse resultado:

\[\begin{equation} i \dot{H} = [H,H] = 0 . \tag{2.22} \end{equation}\]

Além disso, se separarmos (2.20) em variável dinâmica de energia cinética \((K \propto \sin ^2 t)\) e variável dinâmica de energia potencial elástica \((V \propto \cos ^2 t)\), fica claro que as influências desses operadores sobre a partícula se revesam com o passar do tempo — ver a Fig. 2.2 com o ajuste \(q(0)=1\).

Oscilações das variáveis dinâmicas _V_ (azul) e _K_ (vermelho). A variável dinâmica _H_ (verde) não oscila com o passar do tempo.

Figura 2.2: Oscilações das variáveis dinâmicas V (azul) e K (vermelho). A variável dinâmica H (verde) não oscila com o passar do tempo.

3 Incertezas

Quando se trabalha com osciladores quânticos é comum e vantajoso escrever as variáveis dinâmicas em termos dos operadores de criação \((a^{+})\) e de aniquilação \((a)\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} q(t) &= \sqrt{{\frac{\hbar}{2m\omega}}} \Big(a^{+}(t) + a(t)\Big) ,\\ p(t) &= i\sqrt{{\frac{m\hbar\omega}{2}}} \Big(a^{+}(t) - a(t)\Big) . \end{aligned} \tag{3.1} \end{equation}\]

Visto que nosso objetivo é enfatizar o comportamento das variáveis, vamos continuar usando \(m=1\) e \(k=1\) \((\omega=1)\) e também \(\hbar=1\). Com a simplificação, a coordenada e o momento são assim escritos:

\[\begin{equation} \begin{aligned} q(t) &= a^{+}(t) + a(t) \ \ \gets \times \tfrac{1}{\sqrt{2}} ,\\ p(t) &= a^{+}(t) - a(t) \ \ \gets \times \tfrac{i}{\sqrt{2}} . \end{aligned} \tag{3.2} \end{equation}\]

O levantamento e o abaixamento segue regras:

\[\begin{equation} \begin{aligned} a^{+}(t) |n \rangle &= \sqrt{n+1} |n+1 \rangle ,\\ a(t) |n \rangle &= \sqrt{n } |n-1 \rangle . \end{aligned} \tag{3.3} \end{equation}\]

O limite inferior é: \(a(t)|0\rangle =0\).

O oscilador pode estar em qualquer estado de energia \(|n\rangle\) (ou em uma superposição). Vamos determinar o valor esperado da coordenada se estiver no primeiro estado excitado \(|1\rangle\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle q(t) \rangle &= \langle 1 | q(t) | 1 \rangle \\ &= \langle 1|a^{+}(t)|1 \rangle + \langle 1|a(t)|1 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2}\langle 1|2 \rangle + \sqrt{1}\langle 1|0 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ &= 0 . \end{aligned} \tag{3.4} \end{equation}\]

Esse resultado é confirmado substituindo diretamente a expressão \(q(t)\) da equação (2.18):

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle q(t) \rangle &= \langle 1 | q(t) | 1 \rangle \\ &= \langle 1|q (0)|1 \rangle \cos t \\ &= \langle 1|a^{+}(0)|1 \rangle \cos t + \langle 1|a(0)|1 \rangle \cos t \ \ \gets \times \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2}\langle 1|2 \rangle \cos t + \sqrt{1}\langle 1|0 \rangle \cos t \ \ \gets \times \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ &= 0 . \end{aligned} \tag{3.5} \end{equation}\]

Aqui vamos destacar um detalhe muito importante do arranjo de Heisenberg que foi utilizado nas passagens (3.4) e (3.5):

Os estados não evoluem com o passar do tempo.

Por isso, o estado excitado \(|2 \rangle\) criado no tempo inicial \((t=0)\) e o estado excitado \(|2 \rangle\) criado no tempo genérico \((t=t)\), são os mesmos estados:

\[\begin{equation} \begin{aligned} | a^{+}(0) |1\rangle &\to |2(0)\rangle \searrow \\ &\hspace{3.5cm}|2\rangle . \\ | a^{+}(t) |1\rangle &\to |2(t)\rangle \nearrow \end{aligned} \tag{3.6} \end{equation}\]

A resposta (3.4) ou (3.5) significa que, se realizarmos uma série de medições na posição do oscilador preparado no primeiro estado excitado, a média dos resultados será igual a zero. Isso não quer dizer que todos resultados serão iguais a zero. De fato, o desvio padrão é diferente de zero. Primeiro:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle q(t)q(t) \rangle &= \langle 1| q(t)q(t) |1 \rangle \\ &= \langle 1| (a^{+} + a) (a^{+} + a) |1 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ &= \langle 1| a^{+}a^{+} + a^{+}a + aa^{+} + aa |1 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ &= \langle 1| a^{+}a^{+} |1 \rangle + \langle 1| a^{+}a |1 \rangle + \langle 1| aa^{+} |1 \rangle + \langle 1| aa |1 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ &= \sqrt{2}\sqrt{3} \langle 1|3 \rangle + \sqrt{1}\sqrt{1} \langle 1|1 \rangle + \sqrt{2}\sqrt{2} \langle 1|1 \rangle + \langle 1|0 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ &= 0 + 1 + 2 + 0 \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ &= \frac{3}{2} . \end{aligned} \tag{3.7} \end{equation}\]

E a variância e o desvio padrão (incerteza de posição) dessa série de medidas são, respectivamente:

\[\begin{equation} \begin{aligned} (\Delta q)^2 &= \langle q(t)q(t) \rangle ^{=3/2} - \langle q(t) \rangle \langle q(t) \rangle ^{=0} = 3/2 .\\ \Delta q & = \sqrt{\small \frac{3}{2}} . \end{aligned} \tag{3.8} \end{equation}\]

Portanto, há dispersão (maior que 1) em torno da média (zero).

E se o oscilador estiver em um estado de energia genérico \(|n\rangle\)? Ao analisar as passagens (3.7) é fácil concluir que as fórmulas gerais são:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle q(t)q(t) \rangle &= \langle n| q(t)q(t) |n \rangle \\ &= \sqrt{n}\sqrt{n} \langle n|n \rangle + \sqrt{n+1}\sqrt{n+1} \langle n|n \rangle \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ &= \frac{2n + 1}{2} .\\ (\Delta q)^2 &= \langle q(t)q(t) \rangle ^{=n+1/2} - \langle q(t) \rangle \langle q(t) \rangle ^{=0} = n + \tfrac{1}{2} .\\ (\Delta q) _ {n} &= \sqrt{n + \tfrac{1}{2}} . \end{aligned} \tag{3.9} \end{equation}\]

Pelo exposto, aumenta a incerteza de posição quando o oscilador se torna mais excitado. Por exemplo, \((\Delta q)_{0} = \sqrt{\frac{1}{2}}\); \((\Delta q)_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}\); \((\Delta q)_{2} = \sqrt{\frac{5}{2}}\); e assim por diante.

Agora vamos determinar o valor esperado do momento se o oscilador estiver no estado \(|1\rangle\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle p(t) \rangle &= \langle 1 | p(t) | 1 \rangle \\ &= \langle 1|a^{+}(t)|1 \rangle - \langle 1|a(t)|1 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{i}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2}\langle 1|2 \rangle - \sqrt{1}\langle 1|0 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{i}{\sqrt{2}} \\ &= 0 . \end{aligned} \tag{3.10} \end{equation}\]

Em seguida, calcular:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle p(t)p(t) \rangle &= \langle 1| p(t)p(t) |1 \rangle \\ &= \langle 1| (a^{+} - a) (a^{+} - a) |1 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{-1}{2} \\ &= \langle 1| a^{+}a^{+} - a^{+}a - aa^{+} + aa |1 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{-1}{2} \\ &= \langle 1| a^{+}a^{+} |1 \rangle - \langle 1| a^{+}a |1 \rangle - \langle 1| aa^{+} |1 \rangle + \langle 1| aa |1 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{-1}{2} \\ &= \sqrt{2}\sqrt{3} \langle 1|3 \rangle - \sqrt{1}\sqrt{1} \langle 1|1 \rangle - \sqrt{2}\sqrt{2} \langle 1|1 \rangle + \langle 1|0 \rangle \ \ \gets \times \tfrac{-1}{2} \\ &= 0 - 1 - 2 + 0 \ \ \gets \times \tfrac{-1}{2} \\ &= \frac{3}{2} . \end{aligned} \tag{3.11} \end{equation}\]

Feito isso, a variância e o desvio padrão do momento (incerteza de momento) são, respectivamente:

\[\begin{equation} \begin{aligned} (\Delta p)^2 &= \langle p(t)p(t) \rangle ^{=3/2} - \langle p(t) \rangle \langle p(t) \rangle ^{=0} = 3/2 .\\ \Delta p & = \sqrt{\small \frac{3}{2}} . \end{aligned} \tag{3.12} \end{equation}\]

Como se vê, as incertezas de momento são do “mesmo porte” das incertezas de coordenada. As fórmulas gerais são:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle p(t)p(t) \rangle &= \langle n| p(t)p(t) |n \rangle \\ &= - \sqrt{n}\sqrt{n} \langle n|n \rangle - \sqrt{n+1}\sqrt{n+1} \langle n|n \rangle \ \ \gets \times \tfrac{-1}{2} \\ &= \frac{2n + 1}{2} .\\ (\Delta p)^2 &= \langle p(t)p(t) \rangle ^{=n+1/2} - \langle p(t) \rangle \langle q(t) \rangle ^{=0} = n + \tfrac{1}{2} .\\ (\Delta p) _ {n} &= \sqrt{n + \tfrac{1}{2}} . \end{aligned} \tag{3.13} \end{equation}\]

Os resultados (3.13) e (3.9) estabelecem o princípio de incerteza do oscilador harmônico:

\[\begin{equation} \begin{aligned} (\Delta q \Delta p) _ {n} &= \sqrt{n + \tfrac{1}{2}} \sqrt{n + \tfrac{1}{2}} \\ &= n + \tfrac{1}{2} . \end{aligned} \tag{3.14} \end{equation}\]

O resultado (3.14) está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg:

\[\begin{equation} \Delta x \Delta p \geqslant \frac{1}{2} \ \ \ \gets \times \hbar . \tag{3.15} \end{equation}\]

Nota-se que \((\Delta q \Delta p)_{0}\) corresponde ao valor inferior de (3.15). Portanto, no estado fundamental, o oscilador harmônico gera o menor produto de incertezas que 2 variáveis complementares podem produzir!

4 Energia do estado de número

Nosso objetivo agora é escrever o hamiltoniano em função dos operadores de criação e de aniquilação. Então, vamos começar com o seguinte:

\[\begin{equation} \begin{aligned} q(t)q(t) &= (a^{+} + a)(a^{+} + a) \ \ \gets \times \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ &= a^{+}a^{+} + a^{+}a + aa^{+} + aa. \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ p(t)p(t) &= (a^{+} - a)(a^{+} - a) \ \ \gets \times \left(\tfrac{i}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ &= a^{+}a^{+} - a^{+}a - aa^{+} + aa \ \ \gets \times \left(\tfrac{i}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ &= -a^{+}a^{+} + a^{+}a + aa^{+} - aa. \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ p^2(t) + q^2(t) &= 2a^{+}a + 2aa^{+} \ \ \gets \times \tfrac{1}{2} \\ &= a^{+}a + aa^{+}. \end{aligned} \tag{4.1} \end{equation}\]

A condição quântica entre os operadores de aniquilação e de criação é:

\[\begin{equation} \left[ a, a^{+} \right] = aa^{+} - a^{+}a = 1 \implies aa^{+} = 1 + a^{+}a . \tag{4.2} \end{equation}\]

Por fim, com a ajuda de (4.1) e (4.2), o hamiltoniano é:

\[\begin{equation} \begin{aligned} H(t) &= \tfrac{1}{2} (p^2(t) + q^2(t)) \\ &= \tfrac{1}{2} (a^{+}a + aa^{+}) \\ &= \tfrac{1}{2} (2a^{+}a + 1) \\ &= a^{+}(t) a(t) + \tfrac{1}{2} . \end{aligned} \tag{4.3} \end{equation}\]

Está nú por causa da escolha \(\omega=\hbar=1\). A vestir (4.3):

\[\begin{equation} H(t) = \Big( a^{+}(t) a(t) + \tfrac{1}{2} \Big) \hbar\omega . \tag{4.4} \end{equation}\]

Já sabemos que o hamiltoniano é uma constante de movimento [ver (2.22)], então:

\[\begin{equation} \begin{aligned} H(t) &= H(0) \\ a^{+}(t) a(t) &= a^{+}(0) a(0) \end{aligned} \tag{4.5} \end{equation}\]

O resultado mostra que o produto (criação–aniquilação) é independe do tempo. Pode-se entender o motivo interpretando o que significa esse produto:

\[\begin{equation} \begin{aligned} a^{+} a |n\rangle &= a^{+} \{ a |n\rangle \} \\ &= a^{+} \{ \sqrt{n} |n-1\rangle \} \\ &= \sqrt{n} \{ a^{+} |n-1\rangle \} \\ &= \sqrt{n} \{ \sqrt{n} |n\rangle \} \\ &= n |n\rangle . \end{aligned} \tag{4.6} \end{equation}\]

Esse produto é o operador de número de partículas: \(\hat{N}=a^{+}(t)a(t)=a^{+}(0)a(0)\). É conveniente escrevê-lo na forma neutra: \(\hat{N}=a^{+}a\). O número de partículas se altera com a aplicação de \(a^{+}(t)\) ou de \(a(t)\) [ver (3.3), o vetor final é diferente do inicial], porém, não se modifica com a aplicação de \(\hat{N}\) [o vetor final é o mesmo que o inicial]. Isso reforça que o hamiltoniano é neutro com respeito ao tempo:

\[\begin{equation} H = \Big( \hat{N} + \tfrac{1}{2} \Big) \ \ \ \ \gets \times \hbar\omega . \tag{4.7} \end{equation}\]

Vamos, então, determinar o valor do hamiltoniano no estado de número:

\[\begin{equation} \begin{aligned} H |n\rangle &= \Big( \hat{N} + \tfrac{1}{2} \Big) |n\rangle \\ &= \Big( n + \tfrac{1}{2} \Big) |n\rangle \ \ \ \ \gets \times \hbar\omega . \end{aligned} \tag{4.8} \end{equation}\]

Nota: o estado de número \(|n\rangle\) também é chamado de estado de energia.

O que deixa claro que a energia total do estado de energia é formada por uma parte que envolve excitação \((n\hbar\omega)\) e outra parte que é desprovida de excitação \(\left(\frac{1}{2} \hbar\omega\right)\), chamada de energia do ponto zero:

\[\begin{equation} E _ {n} = \Big( n + \tfrac{1}{2} \Big) \ \ \ \ \gets \times \hbar\omega . \tag{4.9} \end{equation}\]

5 Funções de onda do estado de número

A equação de movimento do operador de aniquilação é:

\[\begin{equation} i \dot{a} = [a,H] . \tag{5.1} \end{equation}\]

O resultado desse comutador é \([a,H] = \hbar\omega a\). Para \(\hbar=\omega=1\), \([a,H] = a\). Isso implica em:

\[\begin{equation} i \dot{a} = a \implies \dot{a} = -i a . \tag{5.2} \end{equation}\]

A solução dessa equação diferencial mostra como o operador de aniquilação evolui com o tempo:

\[\begin{equation} a (t) = a(0) e^{-it} . \tag{5.3} \end{equation}\]

Agora vamos escrever a equação de movimento do operador de criação:

\[\begin{equation} i \dot{a}^{+} = [a^{+},H] . \tag{5.4} \end{equation}\]

O resultado desse outro comutador é \([a^{+},H] = -a^{+}\), o que implica em:

\[\begin{equation} i \dot{a}^{+} = -a^{+} \implies \dot{a}^{+} = i a^{+} . \tag{5.5} \end{equation}\]

E temos como o operador de criação evolui com o tempo:

\[\begin{equation} a^{+} (t) = a^{+}(0) e^{it} . \tag{5.6} \end{equation}\]

O produto (5.6) \(\times\) (5.3) confirma a conclusão (4.5): o produto (criação–aniquilação) é independe do tempo e é interpretado como sendo o operador de número de partículas. Esses resultados também podem reescrever os operadores de coordenada e de momento linear da equação (3.1) [voltando com \(\omega\) na resposta]:

\[\begin{equation} \begin{aligned} q(t) &= \sqrt{{\frac{\hbar}{2m\omega}}} \Big( a^{+}(0)e^{i\omega t} + a(0)e^{-i\omega t} \Big) ,\\ p(t) &= i\sqrt{{\frac{m\hbar\omega}{2}}} \Big( a^{+}(0)e^{i\omega t} - a(0)e^{-i\omega t} \Big) . \end{aligned} \tag{5.7} \end{equation}\]

Pode-se inverter as relações (3.1) para obter os operadores de aniquilação e de criação em termos dos operadores de coordenada e de momento linear:

\[\begin{equation} \begin{aligned} a(t) &= \sqrt{{\frac{m\omega}{2\hbar}}} \left( q(t) + \frac{ip(t)}{m\omega} \right) ,\\ a^{+}(t) &= \sqrt{{\frac{m\omega}{2\hbar}}} \left( q(t) - \frac{ip(t)}{m\omega} \right) . \end{aligned} \tag{5.8} \end{equation}\]

Ou, na forma simplificada, com \(m=1\) e \(k=1\) \((\omega=1)\) e também \(\hbar=1\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} a(t) &= \sqrt{{\tfrac{1}{2}}} \Big( q(t) + ip(t) \Big) ,\\ a^{+}(t) &= \sqrt{{\tfrac{1}{2}}} \Big( q(t) - ip(t) \Big) . \end{aligned} \tag{5.9} \end{equation}\]

As relações (5.9) podem ser de ajuda para se determinar as funções de onda do oscilador harmônico. Vamos determinar a função de onda do estado \(|0\rangle\). Sabemos que \(a|0\rangle=0\) (limite inferior da aplicação do operador de aniquilação). Isso implica que:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \Big( q + ip \Big) |0\rangle &= 0 \\ \Big( q + ip \Big) \langle q|0 \rangle &= 0 \\ \Big( q + ip \Big) \Psi _ {0}(q) &= 0 \\ \Big( q + \frac{d}{dq} \Big) \Psi _ {0}(q) &= 0 \\ \frac{d\Psi _ {0}(q)}{dq} &= -q \Psi _ {0}(q) \end{aligned} \tag{5.10} \end{equation}\]

A solução dessa equação diferencial é:

\[\begin{equation} \Psi _ {0}(q) = e^{-\frac{1}{2} q^2} . \tag{5.11} \end{equation}\]

Nas passagens (5.10), a representação de coordenada é a função de onda da coordenada: \(\langle q|0 \rangle=\Psi_{0}(q)\); e o operador de momento linear tem a fórmula: \(\hat{p}_x = \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}\); ou, para \(\small \hbar=1\), \(i\hat{p}_x = \frac{d}{dx}\).

A função de onda do estado fundamental (5.11) é uma curva gaussiana — Fig. 5.1. A fórmula (3.9) estabelece que a incerteza de coordenada (relacionada com o alargamento da gaussiana) é \((\Delta q)_{0} = \sqrt{\frac{1}{2}}\). Na figura, a faixa na altura \((y=0.75)\) vai de \([-(\Delta q)_{0}]\) até \([+(\Delta q)_{0}]\).

Função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico.

Figura 5.1: Função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico.

A Fig. 5.2 apresenta a densidade de probabilidade do estado fundamental: \(|\Psi _ {0}(q)|^2\). Agora a faixa na altura \((y=0.63)\) é que vai de \([-(\Delta q)_{0}]\) até \([+(\Delta q)_{0}]\). Isso mostra que a incerteza de coordenada está relacionada com a meia–largura para a altura \(y =1 - (1/{\rm e})\), quando a densidade de probabilidade cai 36%. No gráfico anterior, a faixa ficou deslocada para cima, quer dizer, a incerteza de coordenada não se relaciona com a queda de 36% da função de onda.

Densidade de probabilidade do estado fundamental do oscilador harmônico.

Figura 5.2: Densidade de probabilidade do estado fundamental do oscilador harmônico.

A função de onda do estado \(|1\rangle\) é determinada com a aplicação do operador de criação:

\[\begin{equation} \begin{aligned} |1\rangle &= a^{+} |0\rangle \\ \langle q|1\rangle &= a^{+} \langle q|0\rangle \\ \Psi _ {1}(q) &= a^{+} \Psi _ {0}(q) \\ \Psi _ {1}(q) &= \sqrt{{\tfrac{1}{2}}} \Big(q - ip \Big) e^{-\frac{1}{2}q^2} \\ &= \sqrt{{\tfrac{1}{2}}} \Big(q - \frac{d}{dq} \Big) e^{-\frac{1}{2}q^2} \\ \end{aligned} \tag{5.12} \end{equation}\]

Resolvendo a derivada, obtém-se:

\[\begin{equation} \Psi _ {1}(q) = 2\sqrt{{\tfrac{1}{2}}} q e^{-\frac{1}{2}q^2} . \tag{5.13} \end{equation}\]

A Fig. 5.3 apresenta a função de onda do primeiro estado excitado do oscilador harmônico — expressão (5.13).

Função de onda do primeiro estado excitado do oscilador harmônico.

Figura 5.3: Função de onda do primeiro estado excitado do oscilador harmônico.

A Fig. 5.4 apresenta a densidade de probabilidade do primeiro estado excitado do oscilador harmônico: \(|\Psi _ {1}(q)|^2\). No estado \(|1\rangle\), há 2 picos de probabilidade. Segundo a fórmula (3.9), a incerteza de coordenada gerada pelos picos é \((\Delta q)_{1}=\sqrt{\frac{3}{2}}\). Caso queira uma interpretação geométrica, pode-se pensar em uma faxa de incerteza ao redor do pico da direita, que comece em \([1 -\frac{1}{2}(\Delta q)_{1}]\) e termine em \([1 +\frac{1}{2}(\Delta q)_{1}]\), e outra ao redor do pico da esquerda, com a mesma extensão; tendo altura \(y=0.63|\Psi _ {1}(q)|^2_{\rm max}\). Porém, deve-se ter em mente que o desenho não ficará “perfeito,” visto que os contornos dos picos não são perfeitamente simétricos — vai servir como indicação para os olhos.

Densidade de probabilidade do primeiro estado excitado do oscilador harmônico.

Figura 5.4: Densidade de probabilidade do primeiro estado excitado do oscilador harmônico.

Pelo exposto, o processo matemático para determinar as funções de onda dos estados excitados é: A partir da função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico \((\Psi_{0})\) \(\implies\) \(a^{+}\Psi_{0} = \Psi_{1}\) \(\implies\) \(a^{+}\Psi_{1} = \Psi_{2}\) \(\implies\) \(a^{+}\Psi_{2} = \Psi_{3}\); e assim por diante.

6 Luz coerente

6.1 Introdução

Ideias quânticas para o campo eletromagnético apresenta o campo eletromagnético como osciladores harmônicos de natureza quântica. O assunto deste artigo, então, não é somente “matemático,” tem repercussão no modo de pensarmos a Natureza.

Há um tipo de luz que se caracteriza por ser coerente. O que isso significa será explicado no decorrer da leitura, por hora, serve para diferenciar esse tipo de luz de outros tipos, a saber, da luz térmica (ou radiação de corpo negro) e da luz sub-Poissoniana — que não serão consideradas neste artigo.

A classificação é feita através de estatísticas de fótons. A luz coerente segue a distribuição de Poisson, a luz térmica, a distribuição de Bose-Einstein (BE):

\[\begin{equation} P (n) = \frac{{\rm M}^n}{n!} e^{-{\rm M}} \hspace{2.0cm} {\rm BE} (n) = \frac{1}{{\rm M}+1} \left( \frac{{\rm M}}{{\rm M}+1} \right)^n \tag{6.1} \end{equation}\]

A luz sub-Poissoniana segue a estatística sub-Poissoniana: \(P_{\rm sub}(n)=1\).

O desvio padrão das distribuições de Poisson e de Bose-Einstein são:

\[\begin{equation} \Delta n = \sqrt{ {\rm M} } \hspace{2.0cm} \Delta n _ {\rm BE} = \sqrt{ {\rm M + M^2} } \tag{6.2} \end{equation}\]

Essas estatísticas respondem a seguinte pergunta:

Qual é a probabilidade de detectar \(n\) fótons em um conjunto que a média é \({\rm M}\) fótons?

Antes de continuar, revelo que cada dia fico mais admirado com quem deu o pontapé inicial na Mecânica Quântica: Planck, Heisenberg, Schrödinger, Dirac — e vocês devem se lembrar de outros — estão sempre nos ensinando algo significativamente valioso: O estudo sobre os estados coerentes foi iniciado por Schrödinger (E. Schrödinger 1926), no mesmo ano que publicou sua equação de onda (Erwin Schrödinger 1926). Quer dizer, Schrödinger resolveu o oscilador quântico e já pensou em um oscilador que pudesse oscilar como oscila um oscilador clássico — como veremos.

De acordo com minha pesquisa, os estados coerentes ficaram “esquecidos” por décadas e foram redescobertos no início dos anos 60. Há um resumo extendido com mais de 50 páginas em (Zhang 1977); e Visão Geral Orientada com quase 40 páginas escrito por Jean-Pierre Gazeau no arXiv:1810.06473v2.

Nota: arXiv é um serviço de distribuição gratuita e um arquivo de acesso aberto para artigos acadêmicos.

Esses excelentes resumos deram suporte para a escrita desta seção. Porém, ao invés de apenas repassar a informação pesquisada, tentei escrever aquilo que minha mente processou sobre o assunto. Destaco a maneira como escrevi a respeito da interpretação estatística da energia do estado coerente e a resolução de um problema numérico.

Além desses resumos, achei muito apropriado citar trechos do trabalho do Prof. Glauber, ganhador do Prêmio Nobel de Física de 2005, por sua contribuição na teoria do estado coerente (Glauber 1963).

6.2 Oscilador quântico como oscilador clássico

O oscilador clássico (2.1) oscila entre dois pontos máximos (amplitudes). Sua trajetória (coordenada) pode ser observada — ponto a ponto — durante o vai e vem; quer dizer, com o passar do tempo, a coordenada clássica oscila: \(q_{\rm c} \propto \cos(\omega t)\). Agora vem o que deve ter intrigado Schrödinger: o resultado (3.4) mostra que, no caso quântico, o valor médio de coordenada em estado de número, não oscila: \(\langle n|q(t)|n \rangle =0\). Ou seja, o oscilador quântico não manifesta o mesmo comportamento do oscilador clássico! A ideia central foi, então, tentar construir um novo estado — através de superposição de estados de número \(|n\rangle\) — que tornasse o valor médio de coordenada oscilante: \(\langle ?|q(t)|? \rangle \propto \cos(\omega t)\).

Hai ragione… \(|?\rangle\) è lo stato coerente!

Estados coerentes são indicados por \(|\mathtt{z}\rangle\). Veremos que, o valor médio de coordenada em estado coerente, oscila da seguinte maneira:

\[\begin{equation} \langle\mathtt{z}|q(t)|\mathtt{z}\rangle = 2\ell _ {c} |\mathtt{z}| \cos(\omega t - \theta) . \tag{6.3} \end{equation}\]

Nessa equação,

\[\begin{equation} \ell _ {c} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} . \tag{6.4} \end{equation}\]

\(\ell _ {c}\) é a constante que aparece em (5.7). Tem a dimensão de comprimento e é interpretada como o comprimento característico do oscilador que vibra no modo \(\omega\).

Para entendermos o significado de \(|\mathtt{z}\rangle\) e de \(\mathtt{z}\), é preciso entender o significado desta equação:

\[\begin{equation} a |\mathtt{z}\rangle = \mathtt{z} |\mathtt{z}\rangle . \tag{6.5} \end{equation}\]

Aqui está escrito que, o operador de aniquilação, atuando em um estado coerente, escalona o estado, multiplicado por um valor numérico. Quer dizer, \(|\mathtt{z}\rangle\) é autoestado do operador de aniquilação (e \(\mathtt{z}\) é o autovalor). Aqui, o operador de aniquilação “trabalha” como um operador de número, extraindo informação do estado — compare com (4.6). A informação extraída, o parâmetro \(\mathtt{z}\), se relaciona com a amplitude de oscilação do valor médio de coordenada em estado coerente, conforme (6.3).

A equação equivalente para o caso do operador de criação é:

\[\begin{equation} \langle \mathtt{z}| a^{+} = \overline{\mathtt{z}} \langle \mathtt{z}| . \tag{6.6} \end{equation}\]

O parâmetro \(\mathtt{z}\) é um número complexo (adimensional), e \(\overline{\mathtt{z}}\) é o conjugado de \(\mathtt{z}\). Na forma exponencial, escreve-se:

\[\begin{equation} \mathtt{z} = |\mathtt{z}| e^{ i\theta} \hspace{1.5cm} {\rm e} \hspace{1.5cm} \overline{\mathtt{z}} = |\mathtt{z}| e^{-i\theta} . \tag{6.7} \end{equation}\]

É fácil mostrar que:

\[\begin{equation} \langle\mathtt{z} |a| \mathtt{z}\rangle = \mathtt{z} \hspace{1.5cm} {\rm e} \hspace{1.5cm} \langle\mathtt{z} |a^{+}| \mathtt{z}\rangle = \overline{\mathtt{z}} , \tag{6.8} \end{equation}\]

considerando que os estados coerentes são normalizados: \(\langle\mathtt{z}|\mathtt{z}\rangle = 1\). Visto que \(\hat{N}=a^{+}a\), também é fácil mostrar que:

\[\begin{equation} \langle\mathtt{z} |\hat{N}| \mathtt{z}\rangle = \langle\mathtt{z} |a^{+}a | \mathtt{z}\rangle = \overline{\mathtt{z}}\mathtt{z} = |\mathtt{z}|^2 . \tag{6.9} \end{equation}\]

Agora estamos com as ferramentas matemáticas para provar (6.3). Vamos copiar a equação do operador de coordenada (5.7):

\[\begin{equation} q(t) = \ell _ {c}\Big( ae^{-i\omega t} + a^{+}e^{i\omega t} \Big) , \tag{6.10} \end{equation}\]

para utilizá-la em:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle\mathtt{z}|q(t)|\mathtt{z}\rangle &= \ell _ {c} \langle\mathtt{z}|\Big( ae^{-i\omega t} + a^{+}e^{i\omega t} \Big)|\mathtt{z}\rangle \\ &= \ell _ {c} \langle\mathtt{z}| a |\mathtt{z}\rangle e^{-i\omega t} + \ell _ {c} \langle\mathtt{z}| a^{+} |\mathtt{z}\rangle e^{ i\omega t} \\ &= \ell _ {c} \mathtt{z} e^{-i\omega t} + \ell _ {c} \overline{\mathtt{z}} e^{ i\omega t} \\ &= \ell _ {c} |\mathtt{z}| e^{ i\theta} e^{-i\omega t} + \ell _ {c} |\mathtt{z}| e^{-i\theta} e^{ i\omega t} \\ &= \ell _ {c} |\mathtt{z}| \Big( e^{ i\theta} e^{-i\omega t} + e^{-i\theta} e^{ i\omega t} \Big) \\ &= \ell _ {c} |\mathtt{z}| \Big( e^{-i (\omega t - \theta)} + e^{ i (\omega t - \theta)} \Big) \\ &= 2\ell _ {c} |\mathtt{z}| \cos(\omega t - \theta) . \end{aligned} \tag{6.11} \end{equation}\]

Assim está provado que, o valor médio de coordenada em estado coerente, oscila como oscila a coordenada de um oscilador clássico.

6.3 Incerteza de coordenada

Determinar a incerteza de coordenada associada aos estados coerentes é um parâmetro que pode nos ajudar a entender como o alargamento (das funçoes de onda dos estados coerentes) se comporta no decorrer do tempo — compare com Fig. 5.1. Já iniciamos a montagem do cálculo fazendo (6.11). Vamos, então, começar com a terceira linha de (6.11):

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle\mathtt{z}|q(t)|\mathtt{z}\rangle \langle\mathtt{z}|q(t)|\mathtt{z}\rangle &= \ell _ {c} \left( \mathtt{z}e^{-i\omega t} + \overline{\mathtt{z}}e^{ i\omega t} \right) \ell _ {c} \left( \mathtt{z}e^{-i\omega t} + \overline{\mathtt{z}}e^{ i\omega t} \right) \\ &= (\ell _ {c})^2 \left( \mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} + \mathtt{z}\,\overline{\mathtt{z}} + \overline{\mathtt{z}}\,\mathtt{z} + \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \right) \\ &= (\ell _ {c})^2 \left( \mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} + |\mathtt{z}|^2 + |\mathtt{z}|^2 + \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \right) . \end{aligned} \tag{6.12} \end{equation}\]

Agora, desenvolver:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle\mathtt{z}|q(t)q(t)|\mathtt{z}\rangle &= (\ell _ {c})^2 \langle\mathtt{z} | \Big( ae^{-i\omega t} + a^{+}e^{i\omega t} \Big) \Big( ae^{-i\omega t} + a^{+}e^{i\omega t} \Big) | \mathtt{z}\rangle \\ &= (\ell _ {c})^2 \langle\mathtt{z} | \Big( aae^{-2i\omega t} + (aa^{+}) + a^{+}a + a^{+}a^{+}e^{2i\omega t} \Big) | \mathtt{z}\rangle \\ &= (\ell _ {c})^2 \langle\mathtt{z} | \Big( aae^{-2i\omega t} + (1 + a^{+}a) + a^{+}a + a^{+}a^{+}e^{2i\omega t} \Big) | \mathtt{z}\rangle \\ &= (\ell _ {c})^2 \Big( \mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} + 1 + |\mathtt{z}|^2 + |\mathtt{z}|^2 + \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \Big) . \end{aligned} \tag{6.13} \end{equation}\]

Por fim, fazer (6.13) menos (6.12):

\[\begin{equation} \left( \Delta q(t) \right)^2 = \langle\mathtt{z}|q(t)q(t)|\mathtt{z}\rangle - \langle\mathtt{z}|q(t)|\mathtt{z}\rangle \langle\mathtt{z}|q(t)|\mathtt{z}\rangle = (\ell _ {c})^2 . \tag{6.14} \end{equation}\]

A variância (6.14) implica em desvio padrão (ou incerteza de coordenada) independente do tempo:

\[\begin{equation} \Delta q(t) = \ell _ {c} . \tag{6.15} \end{equation}\]

O resultado (6.15) sugere que a função de onda do estado coerente tem alargamento e forma que não mudam com a evolução do tempo: esse é um motivo do estado ser chamado de coerente. Portanto, luz coerente significa luz que conserva incerteza de coordenada com a passagem do tempo: não se espalha quando se movimenta.

6.4 Incerteza de momento

Vamos copiar a equação do operador de momento linear (5.7):

\[\begin{equation} p(t) = -i p _ {c}\Big( ae^{-i\omega t} - a^{+}e^{i\omega t} \Big) , \tag{6.16} \end{equation}\]

onde:

\[\begin{equation} p _ {c} = \sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}} , \tag{6.17} \end{equation}\]

é o momento característico de um oscilador que vibra no modo \(\omega\).

A determinação da incerteza de momento inicia com a determinação do valor médio do operador de momento no estado coerente:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle\mathtt{z}|p(t)|\mathtt{z}\rangle &= -i p _ {c} \langle\mathtt{z}|\Big( ae^{-i\omega t} - a^{+}e^{i\omega t} \Big)|\mathtt{z}\rangle \\ &= -i p _ {c} \langle\mathtt{z}| a |\mathtt{z}\rangle e^{-i\omega t} +i p _ {c} \langle\mathtt{z}| a^{+} |\mathtt{z}\rangle e^{ i\omega t} \\ &= -i p _ {c} \mathtt{z} e^{-i\omega t} +i p _ {c} \overline{\mathtt{z}} e^{ i\omega t} \\ &= -i p _ {c} |\mathtt{z}| e^{ i\theta} e^{-i\omega t} +i p _ {c} |\mathtt{z}| e^{-i\theta} e^{ i\omega t} \\ &= i p _ {c} |\mathtt{z}| \Big( -e^{ i\theta} e^{-i\omega t} + e^{-i\theta} e^{ i\omega t} \Big) \\ &= i p _ {c} |\mathtt{z}| \Big( -e^{-i (\omega t - \theta)} + e^{ i (\omega t - \theta)} \Big) \ \ \ \gets \times \frac{2i}{2i} \\ &= -2p _ {c} |\mathtt{z}| \sin(\omega t - \theta) . \end{aligned} \tag{6.18} \end{equation}\]

Analisando os valores médios (6.18) e (6.11), fica claro que \((m \ell_{c}\omega = p_{c})\):

\[\begin{equation} \langle\mathtt{z}|p(t)|\mathtt{z}\rangle = m \frac{d}{dt} \langle\mathtt{z}|q(t)|\mathtt{z}\rangle . \tag{6.19} \end{equation}\]

Os valores médios de coordenada e de momento se comunicam via equação clássica de partícula pontual oscilante. Mais uma vez, vemos a correspondência entre osciladores quânticos e osciladores clássicos.

Continuando com a determinação da incerteza de momento, vamos determinar [ver a terceira linha de (6.18)]:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle\mathtt{z}|p(t)|\mathtt{z}\rangle \langle\mathtt{z}|p(t)|\mathtt{z}\rangle &= (i p _ {c}) \left( -\mathtt{z}e^{-i\omega t} + \overline{\mathtt{z}}e^{ i\omega t} \right) (i p _ {c}) \left( -\mathtt{z}e^{-i\omega t} + \overline{\mathtt{z}}e^{ i\omega t} \right) \\ &= (i p _ {c})^2 \left( \mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} - \mathtt{z}\,\overline{\mathtt{z}} - \overline{\mathtt{z}}\,\mathtt{z} + \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \right) \\ &= (i p _ {c})^2 \left( \mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} - |\mathtt{z}|^2 - |\mathtt{z}|^2 + \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \right) . \end{aligned} \tag{6.20} \end{equation}\]

Agora, desenvolver:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle\mathtt{z}|p(t)p(t)|\mathtt{z}\rangle &= (-i p _ {c})^2 \langle\mathtt{z} | \Big( ae^{-i\omega t} - a^{+}e^{i\omega t} \Big) \Big( ae^{-i\omega t} - a^{+}e^{i\omega t} \Big) | \mathtt{z}\rangle \\ &= (i p _ {c})^2 \langle\mathtt{z} | \Big( aae^{-2i\omega t} - (aa^{+}) - a^{+}a + a^{+}a^{+}e^{2i\omega t} \Big) | \mathtt{z}\rangle \\ &= (i p _ {c})^2 \langle\mathtt{z} | \Big( aae^{-2i\omega t} - (1 + a^{+}a) - a^{+}a + a^{+}a^{+}e^{2i\omega t} \Big) | \mathtt{z}\rangle \\ &= (i p _ {c})^2 \Big( \mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} - 1 - |\mathtt{z}|^2 - |\mathtt{z}|^2 + \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \Big) . \end{aligned} \tag{6.21} \end{equation}\]

Por fim, fazer (6.21) menos (6.20):

\[\begin{equation} \left( \Delta p(t) \right)^2 = \langle\mathtt{z}|p(t)p(t)|\mathtt{z}\rangle - \langle\mathtt{z}|p(t)|\mathtt{z}\rangle \langle\mathtt{z}|p(t)|\mathtt{z}\rangle = -(i p _ {c})^2 = (p _ {c})^2 . \tag{6.22} \end{equation}\]

A variância (6.22) implica em desvio padrão (ou incerteza de momento) independente do tempo:

\[\begin{equation} \Delta p(t) = p _ {c} . \tag{6.23} \end{equation}\]

O resultado (6.23) sugere que a função de onda de momento do estado coerente não se espalha com a passagem do tempo. Isso reforça o uso do adjetivo coerente e está de acordo com o resultado (6.15).

6.5 Desigualdade de Heisenberg

Visto que os alargamentos (das funções de onda do espaço da coordenada e do espaço do momento) são independentes do tempo [ver as equações (6.15) e (6.23)], conclui-se que o produto das incertezas também é independente do tempo, de fato:

\[\begin{equation} \Delta q(t) \Delta p(t) = \ell _ {c} p _ {c} = \frac{\hbar}{2} . \tag{6.24} \end{equation}\]

Os estados coerentes saturam a desigualdade de Heisenberg no tempo que passou, no tempo presente e, também, no tempo futuro!

Nota: Em (6.24), o valor \((=\hbar/2)\) significa o menor produto de incertezas que a desigualdade (3.15) pode prever.

6.6 Energia do estado coerente

Vamos escrever o hamiltoniano (2.5) em outra notação:

\[\begin{equation} H(t) = \tfrac{1}{2} m^{-1} p(t) p(t) + \tfrac{1}{2} m\omega^2 q(t) q(t) . \tag{6.25} \end{equation}\]

Agora vamos determinar o valor médio desse hamiltoniano no estado coerente:

\[\begin{equation} \langle\mathtt{z}|H(t)|\mathtt{z}\rangle = \tfrac{1}{2} m^{-1} \langle\mathtt{z}|p(t)p(t)|\mathtt{z}\rangle + \tfrac{1}{2} m\omega^2 \langle\mathtt{z}|q(t)q(t)|\mathtt{z}\rangle . \tag{6.26} \end{equation}\]

E, com a juda dos resultados (6.13) e (6.21), desenvolver:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle\mathtt{z}|H(t)|\mathtt{z}\rangle &= \tfrac{1}{2} m^{-1} (p _ {c})^2 \left( -\mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} + 1 + |\mathtt{z}|^2 + |\mathtt{z}|^2 - \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \right) \\ &+ \tfrac{1}{2} m\omega^2 (\ell _ {c})^2 \left( \mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} + 1 + |\mathtt{z}|^2 + |\mathtt{z}|^2 + \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \right) \\ &= \tfrac{1}{4}\hbar\omega \left( -\mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} + 1 + |\mathtt{z}|^2 + |\mathtt{z}|^2 - \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \right) \\ &+ \tfrac{1}{4}\hbar\omega \left( \mathtt{z}\,\mathtt{z}\,e^{-2i\omega t} + 1 + |\mathtt{z}|^2 + |\mathtt{z}|^2 + \overline{\mathtt{z}}\,\overline{\mathtt{z}}\,e^{2i\omega t} \right) \\ &= \tfrac{1}{4}\hbar\omega \left( 2 + 4|\mathtt{z}|^2 \right) . \end{aligned} \tag{6.27} \end{equation}\]

Portanto, o valor médio do hamiltoniano do oscilador harmônico no estado coerente é:

\[\begin{equation} \langle\mathtt{z}|H(t)|\mathtt{z}\rangle = \left( |\mathtt{z}|^2 + \tfrac{1}{2} \right) \hbar\omega . \tag{6.28} \end{equation}\]

Deve lembrar que: \(\langle\mathtt{z} |a^{+}a | \mathtt{z}\rangle = |\mathtt{z}|^2\). Está claro que o resultado (6.28) foi produzido pelo hamiltoniano:

\[\begin{equation} H(t) = \left( a^{+}a + \tfrac{1}{2} \right) \hbar\omega . \tag{6.29} \end{equation}\]

Agora que sabemos (6.29) nos estados coerentes, podemos buscar um procedimento para determinar o valor de \(|\mathtt{z}|^2\). A ideia é usar (4.8) nos estados de número e fazer a substituição do número quântico principal pelo número médio de fótons \((n \to \overline{n})\). Obtém-se, então, 2 equações para a energia total:

\[\begin{equation} \begin{aligned} E _ {\mathtt{z}} &= \left( |\mathtt{z}|^2 + \tfrac{1}{2} \right) \hbar\omega ,\\ \overline{E} &= \left( \overline{n} + \tfrac{1}{2} \right) \hbar\omega . \end{aligned} \tag{6.30} \end{equation}\]

Agora, a considerar que essas 2 energias são iguais, obtém-se:

\[\begin{equation} |\mathtt{z}|^2 = \overline{n} . \tag{6.31} \end{equation}\]

Substituindo (6.31) em (6.11), determina-se o valor da amplitude de oscilação: \(A_{\mathtt{z}}=2\ell_{c}\sqrt{\overline{n}}\). Se o estado coerente é fruto de um grande número médio de fótons, a oscilação do valor médio de coordenada será grande. Por outro lado, se \(\sqrt{\overline{n}} \to 0\), a amplitude tende a desaparecer, e o oscilador vai para o estado fundamental \(|\mathtt{z}=0\rangle\), ou estado de vácuo \(|0\rangle\); aqui, vácuo é no sentido de ausência de fótons.

Há maneiras de estimar o número médio de fótons. Tome a energia eletromagnética total média, \({\rm \overline{EM}}\), dentro de uma caixa de volume \(V\):

\[\begin{equation} {\rm \overline{EM}} = \frac{\epsilon _ {0}V \mathscr{E} _ {0}^2}{2} . \tag{6.32} \end{equation}\]

\(\mathscr{E}_{0}\) é a amplitude do campo elétrico. Portando, se cada fóton tem a energia \(\hbar\omega\), o número médio de fótons dentro da caixa é:

\[\begin{equation} \overline{n} _ {\rm caixa} = \frac{\epsilon _ {0}V \mathscr{E} _ {0}^2}{2\hbar\omega} . \tag{6.32} \end{equation}\]

6.7 Trajetórias de fase

Os valores esperados (6.11) e (6.18) passarão a ser chamados de:

\[\begin{equation} \begin{aligned} q _ {\mathtt{z}} (t) &= 2\ell _ {c} |\mathtt{z}| \cos(\omega t - \theta) ,\\ p _ {\mathtt{z}} (t) &= -2p _ {c} |\mathtt{z}| \sin(\omega t - \theta) . \end{aligned} \tag{6.33} \end{equation}\]

Vamos voltar a simplificar as coisas, fazendo \(m=1\), \(\omega=1\), \(\hbar=1\), o que implica em \(\ell_{c}= \frac{1}{\sqrt{2}}\) e \(p_{c}= \frac{1}{\sqrt{2}}\), além de:

\[\begin{equation} \begin{aligned} q _ {\mathtt{z}} (t) &= +|\mathtt{z}| \cos(t - \theta) \ \ \ \gets \times \tfrac{2}{\sqrt{2}} ,\\ p _ {\mathtt{z}} (t) &= -|\mathtt{z}| \sin(t - \theta) \ \ \ \gets \times \tfrac{2}{\sqrt{2}} . \end{aligned} \tag{6.34} \end{equation}\]

A energia de excitação é a energia total menos a energia de vácuo. De acordo com (6.30), a energia de excitação do estado coerente é:

\[\begin{equation} E _ {\mathtt{z}} = |\mathtt{z}|^2 \ \ \ \gets \times \hbar\omega . \tag{6.35} \end{equation}\]

Podemos, então, atribuir valores para o parâmetro \(|\mathtt{z}|\) e, segundo as equações (6.34), encontrar trajetórias do estado coerente no diagrama de fase — \((q_{\mathtt{z}},p_{\mathtt{z}})\) —, vinculadas com as energias (6.35). A Fig. 6.1 mostra 3 trajetórias de fase:

\(\hspace{5.5cm}\) Trajetória 1: \(|\mathtt{z}|=1\), \(E_{\mathtt{z}}=1\);

\(\hspace{5.5cm}\) Trajetória 2: \(|\mathtt{z}|=2\), \(E_{\mathtt{z}}=4\);

\(\hspace{5.5cm}\) Trajetória 3: \(|\mathtt{z}|=3\), \(E_{\mathtt{z}}=9\).

Trajetórias de fase do estado coerente para 3 valores de energia.

Figura 6.1: Trajetórias de fase do estado coerente para 3 valores de energia.

Para tornar a figura mais didática, ajustou-se \(\frac{2}{\sqrt{2}} \to =1\). Para desenhar a volta completa, o tempo foi escolhido entre: \(0 \leqslant t \leqslant 2\pi\). A trajetória de fase começa em \(t=0\), então, o \(1^{0}\) ponto da circunferência de fase ocorre no valor de \(\theta\). A figura foi desenhada com \(\theta=0\). Hai ragione… Outros valores de \(\theta\) darà l’impressione della circonferenza.

A escolha da energia foi arbritária. Isso quer dizer que podemos desenhar outras circunferências de fase, escolhendo outros valores de energia:

Os estados coerentes não são quantizados!

Um “objeto” é quantizado, quando os valores de sua energia são discretos (como uma sequência de números inteiros). Porém, os valores de \(|\mathtt{z}|\) são números reais, de sequência contínua. A energia \(|\mathtt{z}|^2\), então, não é quantizada. Mas a proposta de Schrödinger, depois, aperfeiçoada por Glauber, foi essa:

Vamos construir um estado quântico que manifeste características de estado clássico.

De acordo com a igualdade (6.31), se o estado coerente é fruto de um grande número médio de fótons, sua energia de excitação vai ser grande, por outro lado, se \(\overline{n} \to 0\), a energia total dende ao valor da energia de vácuo.

Em cima da trajetória de fase, caminha uma particella coerente, que non si diffonde enquanto si muove. Essa partícula é uma partícula de probabilidade, que leva consigo, a densidade de probabilidade do estado coerente — tema para a próxima sub-seção.

6.8 Probabilidades

Desde o início do artigo, até agora, geramos muitas informações. Chegou a hora de organizar as coisas. O melhor a fazer é tentar comparar o que aprendemos sobre os estados de número e sobre os estados coerentes. Os pontos principais se encontram nestas 2 equações, com \(\hbar=1\) e \(\omega=1\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} H |n\rangle &= E _ {n} |n\rangle \\ H |\mathtt{z}\rangle &= E _ {\mathtt{z}} |\mathtt{z}\rangle \end{aligned} \tag{6.36} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \begin{aligned} E _ {n} &= n + \tfrac{1}{2} \\ E _ {\mathtt{z}} &= |\mathtt{z}|^2 + \tfrac{1}{2} \end{aligned} \tag{6.37} \end{equation}\]

Existem 2 osciladores? Resposta: Não.

Há somente 1 hamiltoniano: \(H = a^{+}a + \frac{1}{2}\), conforme equações (4.4) e (6.29). O oscilador oscila na frequência angular \(\omega^2=k/m\).

Existem 2 estados? Resposta: Sim.

O oscilador pode ser preparado no estado de número \(|n\rangle\) ou no estado coerente \(|\mathtt{z}\rangle\).

Existem 2 energias de excitação? Resposta: Sim.

Preparado no estado de número, o oscilador manifesta energia discreta \(n\hbar\omega\), sendo \(n=0,1,2,3...\); preparado no estado coerente, manifesta energia contínua \(|\mathtt{z}|^2\hbar\omega\), sendo \(0 \leqslant |\mathtt{z}| < \infty\).

Pode-se adicionar energia ao oscilador sem alterar sua frequência \(\omega\). Como? No caso discreto, aumentando \(n\), quer dizer, excitando para outro nível de energia (equivale a dizer: aumentando o número de fótons). No caso contínuo, aumentando \(|\mathtt{z}|\), ou seja, excitando para outra amplitude \(A_{\mathtt{z}}=2\ell_{c}|\mathtt{z}|\).

Existem 2 energias de vácuo? Resposta: Não.

Nos 2 casos, a energia de vácuo é \(\frac{1}{2}\hbar\omega\).

Existem 2 partículas clássicas? Resposta: Não.

Chamar o estado quântico de “partícula clássica” somente faz sentido para os estados coerentes. Isso por que, retetidas vezes, vimos que esses estados se comportam como uma partícula clássica (massa \(m\) preza a uma mola \(k\)). Por exemplo, dado um ponto no diagrama de fase \((q_{\mathtt{z}},p_{\mathtt{z}})\), a evolução temporal da localização dessa “partícula” é um movimento circular que ocorre, nos eixos da figura 6.1, entre \(-|\mathtt{z}|\) e \(|\mathtt{z}|\).

Não faz sentido chamar os estados de número de “partículas clássicas,” porque esses estados não manifestam comportamento de uma partícula clássica. Uma de suas características é que são estacionários: as probabilidades e valores esperados são independentes do tempo. É comum servirem de base para expansão de outros estados (isso inclui os estados coerentes). Ao fazer isso, a superposição de estados estacionários não é estacionária: as probabilidades e valores esperados evoluem com o tempo (como vimos acontecer com os estados coerentes).

Existem 2 distribuições de probabilidade? Resposta: Sim.

Já vimos algumas distribuições de probabilidade dos estados de número — recorde as figuras 5.2 e 5.4. As equações (5.11) e (5.13) mostram que as funções de onda desses estados possuem um termo exponencial:

\[\begin{equation} \exp \left(-\tfrac{1}{2}q^2 \right) , \tag{6.38} \end{equation}\]

multiplicado por polinômio de Hermite:

\[\begin{equation} \begin{aligned} H _ {0} (q) &= 1 \\ H _ {1} (q) &= 2q \\ H _ {2} (q) &= 4q^2 - 2 \\ H _ {3} (q) &= 8q^3 - 12u \\ H _ {4} (q) &= 16q^4 - 48q^2 +12 . \end{aligned} \tag{6.39} \end{equation}\]

Isso desenha figuras com 1, 2, 3… \((n+1)\) picos de probabilidade (no formato de gaussianas).

O que difere para os estados coerentes? Esses estados são pacotes de onda, formado pela superposição de estados de número:

\[\begin{equation} |\mathtt{z}\rangle = e^{-\frac{1}{2} |\mathtt{z}|^2} \sum _ {n=0}^{\infty} \frac{ \mathtt{z}^n }{ \sqrt{n!} } |n\rangle . \tag{6.40} \end{equation}\]

A dedução completa de como se chega a essa fórmula pode ser vista no próprio artigo do Professor (Glauber 1963): equação (3.7). É por isso que os estados coerentes são chamados de estados de Glauber. Ao explicar a equação (6.40), Glauber escreveu: Essa fórmula mostra que o número médio de ocupação do enésimo estado é dado por uma distribuição de Poisson com valor médio \({\rm M} = |\mathtt{z}|^2\):

\[\begin{equation} P (n) = |\langle n|\mathtt{z}\rangle |^2 = \frac{ \left( |\mathtt{z}|^2 \right)^n }{ n! } e^{ -|\mathtt{z}|^2 } . \tag{6.41} \end{equation}\]

Aqui está toda a diferença! A luz coerente tem estatística Poissoniana (algo que não ocorre com os estados de número).

Relembre como extrair informação desta distribuição lendo o texto ao redor da equação (6.1). A Fig. 6.2 apresenta valores da distribuição (6.41) para média \({\rm M} = 10\).

Distribuição de Poisson com valor médio M = 10.

Figura 6.2: Distribuição de Poisson com valor médio M = 10.

Através da figura 6.2, pode-se responder as seguintes perguntas:

\(\bullet\) Qual é a probabilidade de encontrar \(8\) fótons em um conjunto que a média é \(10\) fótons? Resposta: \(P(8)=0.113\).

\(\bullet\) Qual é a probabilidade de encontrar \(10\) fótons em um conjunto que a média é \(10\) fótons? Resposta: \(P(10)=0.125\).

\(\bullet\) Qual é a probabilidade de encontrar \(12\) fótons em um conjunto que a média é \(10\) fótons? Resposta: \(P(12)=0.095\).

As outras probabilidades estão na Tabela 6.1. A columa 3 dessa tabela é o produto \(n \times P(n)\). O mais importante é que a soma dessa columa resulta no valor de \(\rm M\):

\[\begin{equation} {\rm M} = \sum _ {n} n P (n) . \tag{6.42} \end{equation}\]

Temos, então, uma maneira de determinar \(|\mathtt{z}|^2\), pois, como mencionou Glauber:

\[\begin{equation} |\mathtt{z}|^2 = {\rm M} . \tag{6.43} \end{equation}\]

A comparar com a distribuição de Poisson com a distribuição de Bose-Einstein (BE), ver as equações em (6.1), a diferença é nítida. Conforme mostra a figura 6.3, o pico de probabilidade BE ocorre em zero e a distribuição não é simétrica em torno do valor médio de fótons \((\rm M=10)\).

Distribuição de Bose-Einstein (BE) com valor médio M = 10.

Figura 6.3: Distribuição de Bose-Einstein (BE) com valor médio M = 10.

As figuras 6.2 e 6.3 deixam claro que fótons coerentes (gerados por um laser) e fótons térmicos (gerados por uma lâmpada incandescente) são fótons “diferentes”: entenda diferente no sentido de como esses fótons se distribuem estatisticamente dentro de seus respectivos feixes de luz.

Exercício 1:

A superposição (6.40) é construída com infinitos estados \(|n\rangle\). Vamos construir um estado coerente que utilize apenas 6 estados de número (acima do estado fundamental):

\(\hspace{6cm}\) \(|\mathtt{z}\rangle\) \(\to\) \(|0\rangle + |1\rangle + |2\rangle + |3\rangle + |4\rangle + |5\rangle + |6\rangle\)

Os 6 estados de número são equivalentes a 21 fótons.

Considere os 6 estados de número em superposição para formar o estado coerente de \(|\mathtt{z}|^2=10\). A representação desse estado no diagrama de fase é uma circunferência de raio \(|\mathtt{z}|=\sqrt{10}\). E sua Poissoniana é apresentada na figura 6.2.

Considere que a oscilação ocorra no vermelho:

\(\hspace{6cm}\) \(f_{\rm red} = 400\ {\rm THz}\);

\(\hspace{6cm}\) \(\omega_{\rm red} = 2.5 \times 10^{15}\ {\rm s^{-1}}\);

\(\hspace{6cm}\) \(\hbar\omega_{\rm red} = 1.65\ {\rm eV}\).

Então, a energia do estado coerente é:

\(\hspace{6cm}\) \(E_{\mathtt{z}} = |\mathtt{z}|^2\hbar\omega_{\rm red} = 16.5\ {\rm eV}\).

Ou, de acordo com as equações (6.42) e (6.43):

\(\hspace{6cm}\) \(E_{\mathtt{z}}=\Big( \sum_{n=0}^{21} nP(n) \Big) \hbar\omega_{\rm red} = 16.5\ {\rm eV}\).

Há diferença em relação aos estados de número? Sim.

Não há superposição… A energia total dos 6 estados de número é:

\(\hspace{6cm}\) \(E =(1+2+3+4+5+6)\hbar\omega_{\rm red}\) \(\ \ \to \ \ \) \(E = 34.7\ {\rm eV}\).

Durante a resolução desse exercício, pensei em determinar o comprimento e o momento característico do oscilador que vibra no vermelho. Porém, quando olhei as equações (6.4) e (6.17), notei que as fórmulas possuem a massa \(m\) (e agora?). Tirei a dúvida nas aulas do MIT OpenCourseWare . Aprendi que para representar ondas eletromagnéticas, a massa do oscilador deve ser definida igual a um! Depois, confirmei essa informação nas equações (3.25a) e (3.25b) do trabalho de Glauber (Glauber 1963). A utilizar \(m=1\):

\(\hspace{6cm}\) \(\ell_c = \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_{\rm red}}} = 1.45 \times 10^{-25}\ {\rm \small m \sqrt{kg}}\).

\(\hspace{6cm}\) \(p _ {c} = \sqrt{\frac{\hbar\omega_{\rm red}}{2}}= 3.64 \times 10^{-10}\ \frac{\rm m/s}{\rm \sqrt{kg}}\).

Achei apropriado comparar com um elétron (massa \(m_{\rm e}\)) oscilando na mesma frequência:

\(\hspace{6cm}\) \(\ell_c = \sqrt{\frac{\hbar}{2m_{\rm e}\omega_{\rm red}}} = 1.52 \times 10^{-10}\ {\rm \small m}\).

\(\hspace{6cm}\) \(p _ {c} = \sqrt{\frac{m_{\rm e}\hbar\omega_{\rm red}}{2}}= 3.45 \times 10^{-25}\ \frac{\rm kg.m}{\rm s}\).

Continuando, como disse Glauber, a probabilidade do estado de fótons \(|5\rangle\), por exemplo, participar da superposição (de formação de um estado coerente) é \(P(5)\). Porém, a energia de 5 fótons \((5\hbar\omega)\) não entrará na conta para determinar a energia do estado coerente, mas, sim, entrará na conta a energia \(5P(5)\hbar\omega\). Por isso:

\[\begin{equation} E _ {\mathtt{z}} = \left( \sum _ {n=0}^{\infty} nP(n) \right) \hbar\omega . \tag{6.44} \end{equation}\]

Além da distribuição de Poisson, há outros tipos de probabilidade que merecem nossa atenção.

A probabilidade de a partícula de Glauber estar na coordenada \(q\) é determinada pela densidade de probabilidade do estado coerente: \(|\Psi_{\mathtt{z}}(q)|^2\). Para \(\hbar=1\), \(\omega=1\) e \(m=1\), a função de onda do estado coerente tem a forma:

\[\begin{equation} \langle q | \mathtt{z} \rangle \equiv \Psi _ {\mathtt{z}}(q) = e^{-\frac{1}{2} (q - q _ {\mathtt{z}} )^2} . \tag{6.45} \end{equation}\]

A comparar com a função de onda do estado fundamental do estado de número — ver a equação (5.11) —, persebe-se que (6.45) é (5.11) deslocada pelo valor esperado \(q_{\mathtt{z}}(t)\), ou seja, a gaussiana (6.45) segue o movimento de vai e vem do valor esperado (6.33). A Fig. 6.4 é uma montagem ilustrativa, de uma densidade de probabilidade genérica, para destacar o movimento oscilatório da gaussiana no decorrer do tempo. É importante observar que a largura da gaussiana permanece sempre a mesma durante todo o período de oscilação — ver a equação (6.15). As setas indicam o movimento que inicia em \((+4)\) e termina em \((-4)\): amplitude genérica do valor esperado. O movimento da volta não foi indicado por setas.

Ilustração da densidade de probabilidade de um estado coerente genérico, no decorrer do tempo. As setas indicam o movimento que inicia em (+4) e termina em (-4). A volta não foi indicada por setas.

Figura 6.4: Ilustração da densidade de probabilidade de um estado coerente genérico, no decorrer do tempo. As setas indicam o movimento que inicia em (+4) e termina em (-4). A volta não foi indicada por setas.

Ao introduzir \(q_{\mathtt{z}}(t)\) na função de onda (6.45), abandonamos a picture de Heisenberg, das funções de onda independente do tempo, a passamos para a picture de Schrödinger, das funções de onda que evoluem com o tempo. Isso é explicado em detalhes pelo Prof. Glauber, logo após apresentar a equação (3.29) (Glauber 1963).

7 Leitura adicional: luz térmica

Qual deve ser a equação equivalente à equação (6.44) que trate do caso da luz térmica?

Hai ragione… a equação é esta:

\[\begin{equation} E _ {\rm BE} = \left( \sum _ {n=0}^{\infty} n{\rm BE}(n) \right) \hbar\omega . \tag{7.1} \end{equation}\]

O que fizemos foi trocar a distribuição de Poisson pela distribição de Bose-Einstein (BE): ver expressões em (6.1).

Exercício 2:

Vamos considerar os mesmos 6 estados de número do Exercício 1, mas, agora, em superposição para formar um estado térmico \(|\rm BE\rangle\). Como antes: \(\hbar\omega_{\rm red} = 1.65\ {\rm eV}\). Também como antes: \(\rm M=10\).

A energia do estado térmico é:

\(\hspace{6cm}\) \(E_{\rm BE}=\Big( \sum_{n=0}^{21} n{\rm BE}(n) \Big) \hbar\omega_{\rm red}\).

De acordo com a distribuição BE (6.3):

\(\hspace{6cm}\) \(\sum_{n=0}^{21} n{\rm BE}(n) = 7.9\) \(\rm \hspace{2cm}(\ne M)\).

O que resulta em:

\(\hspace{6cm}\) \(E_{\rm BE} = 13\ {\rm eV}\) \(\hspace{2cm}(E_{\mathtt{z}} = 16.5\ {\rm eV})\).

Para um mesmo número médio de fótons, um estado coerente concentra mais energia que um estado térmico. Isso porque, a distribuição de Poisson assemelha-se a uma gaussiana e tem pico ao redor do ponto \(n = {\rm M}\), enquato que a distribuição BE é uma exponencial decrescente ao passar por esse ponto: compare as figuras 6.2 e 6.3.

8 Conclusão

Seções 1 até 5, sobre o oscilador de Heisenberg e os estados de fótons:

Conclui-se que os operadores de coordenada e de momento linear oscilam periodicamente com o passar do tempo. Que as incertezas (coordenada e momento) ficam maiores com o aumento do número quântico principal e que o oscilador no estado fundamental possui o menor produto de incertezas previsto pela desigualdade de Heisenberg. Que o hamiltoniano é uma constante de movimento e a energia total é composta de energia de excitação e energia do ponto zero. Que a função de onda do estado fundamental é uma curva gaussiana com largura proporcional à incerteza de coordenada e que as funções de onda dos estados excitados são construídas a partir da função de onda do estado fundamental.

Seção 6, sobre os estados coerentes:

Conclui-se que um estado de caráter coerente é formado pela superposição de estados de fótons. É coerente porque suas inceretezas (coordenada e momento) não se alteram com o passar do tempo (uma vez coerente, sempre coerente). Em muitos aspéctos, se comporta como uma partícula clássica: possui uma trajetória (circular) no espaço de fase; sua energia total é contínua (não é quantizada); sua coordenada média oscila como um sistema massa–mola. Porém, não deixa de ser um estado quântico: sua posição não é perfeitamente localizada (há flutuações na medição de sua coordenada); sua velocidade não é perfeitamente determinada (há flutuações na medição de seu momento); quando deixa de oscilar, sua energia total não é zero, é igual a energia de ponto zero. Conclui-se, também, que um estado coerente obedece a estatística de Poisson, e que a média dessa distribuição, caracteriza a energia de excitação e a amplitude de oscilação da coordenada média e do momento médio.

Resumindo:

\(\hspace{3.1cm}\) Fóton é estado

\(\hspace{4.1cm}\) — estado de número.

\(\hspace{5.1cm}\) Superposição de fótons é estado

\(\hspace{6.1cm}\) — estado coerente.

Referências

A Jannussis, D Sourlas, A Streclas. 1977. Some Properties of Commutators and the Equations of Motion. Physica Scripta, Volume 15, Pages 163-166.
Anna Galler, James K Freericks, Jeremy Canfield. 2021. Schrödinger’s Original Quantum–Mechanical Solution for Hydrogen. European Journal of Physics, Volume 42, Number 3.
Glauber, R J. 1963. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field. Physical Review, Volume 131, Number 6, Pages 2766-2788.
I J R Aitchison, T M Snyder, D A MacManus. 2004. Understanding Heisenberg’s “Magical” Paper of July 1925: A New Look at the Calculational Details. American Journal of Physics, Volume 72, Page 1370.
Schrödinger, E. 1926. Der Stetige Übergang von Der Mikro- Zur Makromechanik. Naturwiss., Volume 14, Page 664.
Schrödinger, Erwin. 1926. Quantisation as a Problem of Proper Values (Part II). Annalen der Physik, Volume 79, Pages 489-527.
Zhang, Wei-Min. 1977. Coherent States: Theory and Some Applications. Reviews of Modern Physics, Volume 62, Nember 4, Page 867-926.
Fóton Oscilador
Cássio Sanguini Sergio
Físico

Meus interesses de pesquisa incluem aglomerados e semicondutores.

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