1 Introdução

O campo de radiação eletromagnético vibra como vibram osciladores quânticos. Armazena energia quantizada.

A quantização do campo eletromagnético foi realizada pela primeira vez por Dirac (Dirac 1927). O Prof. Luis Navarro Veguillas, da Facultat de Física, da Universitat de Barcelona, disponibiliza o trabalho original de Dirac, no site Una muestra de trabajos clásicos.

A quantização do campo eletromagnético se dá pela transforção do campo elétrico em um operador de campo elétrico e pela trasformação do campo magnético em um operador de campo magnético. O operador de campo elétrico e o operador de campo magnético são escritos em termos de operadores do oscilador quântico: do operador de criação de excitação própria e do operador de aniquilação de excitação própria. Desse modo, o hamiltoniano do campo eletromagnético se torna análogo ao hamiltoniano do oscilador quântico (Robert Bennett 2016).

As implicações do campo como oscilador são as ideias centrais por trás deste artigo. As próximas seções vão tratar da energia de vácuo e da excitação própria do oscilador, da criação e aniquilação de excitação própria, da ocupação de estados de energia, e como a temperatura influencia essa ocupação, entre outros.

2 Fóton como excitação

Descrever o campo eletromagnético como osciladores quânticos equivale a descrever os fótons como excitações de osciladores.

Logo após deduzir sua equação, Schrödinger resolveu o “oscilador de Planck” (oscilador harmônico) (Schrödinger 1926). Segundo seu resultado:

O oscilador \({1}\), de frequência própria \(\omega_{1}\), excitação própria \(\hbar \omega_{1}\), preparado no estado \(n_{1}\), possui a energia de excitação:

\[\begin{equation} E _ {1} = n _ {1} \hbar \omega _ {1} . \tag{2.1} \end{equation}\]

Por se tratar de algum estado excitado, \(n_1 \ne 0\) \((=1,\ 2,\ 3,\dots)\).

Na sequência, o oscilador \({2}\), de frequência própria \(\omega_{2}\), excitação própria \(\hbar \omega_{2}\), preparado no estado \(n_{2} \ne 0\), possui a energia de excitação:

\[\begin{equation} E _ {2} = n _ {2} \hbar \omega _ {2} . \tag{2.2} \end{equation}\]

E assim por diante, o oscilador \({k}\), de frequência própria \(\omega_{k}\), excitação própria \(\hbar \omega_{k}\), no estado \(n_{k} \ne 0\), possui a energia de excitação:

\[\begin{equation} E _ {k} = n _ {k} \hbar \omega _ {k} . \tag{2.3} \end{equation}\]

A interpretação acima focaliza a excitação própria e o estado ocupado, porém, mudando o foco para o fóton e sua população, pode-se interpretar:

A população com \(n_k\) fótons \(\hbar \omega_{k}\) possui a energia \(n_{k} \hbar \omega_{k}\).

Na nova interpretação, o fóton é a excitação própria do oscilador harmônico (diferença de energia entre dois níveis consecutivos).

Nota: Depende do contexto, é apropriado fóton \(\hbar \omega_{k}\) (descrição pela energia), ou é apropriado fóton \(\omega_{k}\) (descrição pela frequência angular), ou é apropriado fóton \(f_{k}\) (descrição pela frequência).

Os osciladores podem se agrupar em um grupo de osciladores, \(({1},\ {2},\ {3}, \dots)\), de frequências \((\omega_{1},\ \omega_{2},\ \omega_{3}, \dots)\). Vamos supor, preparados no mesmo estado, ou seja, \((n_{1},\ n_{2},\ n_{3}, \dots)\) = \((n,\ n,\ n, \dots)\). Nessas condições, o grupo possui a energia de excitação:

\[\begin{equation} E' = \sum _ {k=1}^{\infty} n \hbar \omega _ {k} = n \hbar \omega _ {1} + n \hbar \omega _ {2} + n \hbar \omega _ {3} +\ \dots \tag{2.4} \end{equation}\]

A população com \(n\) fótons \(\omega_{1}\), \(n\) fótons \(\omega_{2}\), \(n\) fótons \(\omega_{3}\), etc, possui a energia (2.4).

É mais realístico imaginar cada oscilador em um estado de energia diferente. Desse modo, o grupo de osciladores vai possuir a energia de excitação:

\[\begin{equation} E'' = \sum _ {k=1}^{\infty} n _ {k} \hbar \omega _ {k} = n _ {1} \hbar \omega _ {1} + n _ {2} \hbar \omega _ {2} + n _ {3} \hbar \omega _ {3} +\ \dots \tag{2.5} \end{equation}\]

A população com \(n_{1}\) fótons \(\omega_{1}\), \(n_{2}\) fótons \(\omega_{2}\), \(n_{3}\) fótons \(\omega_{3}\), etc, possui a energia (2.5).

O que mais surpreende, descrevendo o campo como osciladores, é que, quando não há fótons, o campo continua com energia: com a energia de ponto zero do grupo de osciladores, chamada de energia de vácuo:

\[\begin{equation} E'' _ {0} = \sum _ {k=1}^{\infty} \tfrac{1}{2} \hbar \omega _ {k} . \tag{2.6} \end{equation}\]

Pode-se exclarecer, analisando a energia total do oscilador \({k}\):

\[\begin{equation} U _ {k} = \left( n _ {k} + \tfrac{1}{2} \right) \hbar \omega _ {k} . \tag{2.7} \end{equation}\]

Não haver fóton significa que o oscilador se encontra no estado fundamantal \((n_k=0)\).

3 Operações de criação e aniquilação

Um autoestado de um oscilador será representado por \(|n\rangle\).

A base de autoestados, \(\{ |0\rangle,|1\rangle,|2\rangle,\dots,|n\rangle,\dots \}\), é ortonormal: \(\langle n|n'\rangle=\delta_{nn'}\).

O operador de criação de estado, \(a^{+}\), cria o estado \(|n+1\rangle\):

\[\begin{equation} a^{+} |n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle . \tag{3.1} \end{equation}\]

O oscilador no estado \(|n\rangle\) possui \(n\) fótons. O oscilador no estado \(|n+1\rangle\) possui \((n+1)\) fótons. Portanto, a operação (3.1) cria 1 fóton.

O operador de aniquilação de estado, \(a\), aniquila o estado \(|n\rangle\):

\[\begin{equation} a |n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle . \tag{3.2} \end{equation}\]

O oscilador no estado \(|n\rangle\) possui \(n\) fótons. O oscilador no estado \(|n-1\rangle\) possui \((n-1)\) fótons. Portanto, a operação (3.2) aniquila 1 fóton.

A aniquilação do primeiro estado excitado resulta no estado fundamental, e é impossível aniquilar o estado fundamental (estado de vácuo):

\[\begin{equation} \begin{aligned} a |1\rangle &= |0\rangle ,\\ a |0\rangle &= 0 . \end{aligned} \tag{3.3} \end{equation}\]

Outra informação importante é a de que os operadores criação e aniquilação satisfazem a relação de comutação:

\[\begin{equation} [a , a^{+}] = 1 . \tag{3.4} \end{equation}\]

Agora vamos falar sobre o operador formado pelo produto dos operadores criação e aniquilação. A operar \((a^{+}a)\) sobre um autoestado de um oscilador, obtém-se:

\[\begin{equation} \begin{aligned} a^{+}a |n\rangle &= a^{+} (a |n\rangle) \\ &= a^{+} (\sqrt{n}|n-1\rangle) \\ &= \sqrt{n} (a^{+}|n-1\rangle) \\ &= \sqrt{n} (\sqrt{n-1+1} |n-1+1\rangle) \\ &= \sqrt{n} (\sqrt{n} |n\rangle) \\ &= n|n\rangle . \end{aligned} \tag{3.5} \end{equation}\]

A chamar \(\hat{n} = a^{+}a\), fica claro que \(\hat{n}\) é o operador número de fóton, pois, ao atuar no autoestado \(|n\rangle\), exibe o autovalor \(n\) (número de fótons):

\[\begin{equation} \hat{n} |n\rangle = n|n\rangle . \tag{3.6} \end{equation}\]

Neste ponto, pode-se fazer uso do operador número de fóton.

O oscilador \({k}\) no estado \(|n_k\rangle\) possui \(n_k\) fótons. O hamiltoniano desse oscilador:

\[\begin{equation} \hat{H} _ {k} = \left( \hat{n_k} + \tfrac{1}{2} \right) \hbar \omega _ {k} , \tag{3.7} \end{equation}\]

opera com o operador número de fóton:

\[\begin{equation} \hat{H} _ {k} |n_k\rangle = \left( n_k + \tfrac{1}{2} \right) \hbar \omega _ {k} |n_k\rangle . \tag{3.8} \end{equation}\]

Como se vê, a energia total:

\[\begin{equation} U _ {k} = \left( n _ {k} + \tfrac{1}{2} \right) \hbar \omega _ {k} , \tag{3.9} \end{equation}\]

é separada em duas partes: na energia de excitação:

\[\begin{equation} E _ {k} = n _ {k} \hbar \omega _ {k} , \tag{3.10} \end{equation}\]

e na energia de ponto zero:

\[\begin{equation} E _ {k0} = \tfrac{1}{2} \hbar \omega _ {k} . \tag{3.11} \end{equation}\]

Tornando mais amplo, os osciladores \(({1},\ {2},\ {3}, \dots)\), de frequências \((\omega_{1},\ \omega_{2},\ \omega_{3}, \dots)\), de autoestados \((|n_1\rangle,\ |n_2\rangle,\ |n_3\rangle, \dots)\), são descritos pelo hamiltoniano:

\[\begin{equation} \hat{H} = \sum _ {k=1}^{\infty} \hat{H} _ {k} = \sum _ {k=1}^{\infty} \left( \hat{n _ k} + \tfrac{1}{2} \right) \hbar \omega _ {k} . \tag{3.12} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} \hat{H} = \sum _ {k=1}^{\infty} \left( a^{+} _ {k} a _ {k} + \tfrac{1}{2} \right) \hbar \omega _ {k} . \tag{3.13} \end{equation}\]

Se o campo eletromagnético vibra como vibram osciladores quânticos, então, o hamiltoniano do campo é análogo ao hamiltoniano (3.13) – ver demonstração com muitos pormenores no artigo de Robert Bennett et al.

4 A influência da temperatura

Imagine um fóton caminhando pelo Universo. Por exemplo, o fóton que parte do Sol demora cerca de 8 minutos para chegar à Terra. No seu percurso, não encontra sumidouros, chega ao nosso planeta. Aqui, pode ser tragado por uma planta ou esquentar nossa cabeça. Mas nem todo fóton tem a “liberdade” de se aventurar pelas profundezas inesgotáveis do Universo. Alguns são aprisionados! Na nosso casa, por exemplo, há fótons que nunca vão ver a natureza. São criados pelas paredes da casa e, depois de instantes, são “descriados” pelas mesma paredes. Nascem em um local, passam pela frente do nosso nariz, e morrem em outro. O “nascer” e “morrer” envolvem processos quânticos. Se você deseja saber mais sobre como os fótons são emitidos e absorvidos pela matéria, faço o convite para ler este artigo: Comportamento dependente do tempo da probabilidade de transição.

O mais importante agora é saber que, no equilíbrio térmico, o número de emissões por segundo é igual ao número de absorções por segundo. Esse número se modifica por causa da temperatura do sistema (fóton/parede). Quanto mais quente, maior será o número de absorções/emissões por segundo. A forma da radiação que circula pela casa, ou, diminuindo o tamanho do problema, que circula dentro de uma caixa, é descrita pela lei de Planck (Planck 1900):

\[\begin{equation} u = \frac{\hbar \omega ^3 }{\pi ^2 c^3} \frac{1}{\exp (\hbar \omega / k_B T ) - 1} . \tag{4.1} \end{equation}\]

Nessa equação, \(u\) \(\rm [Jsm^{-3}]\), é a densidade espectral de energia; \(\hbar\) \(\rm [Js]\), é a constante de Planck (reduzida por \(2\pi\)); \(\omega\) \(\rm [s^{-1}]\), é a frequência angular da radiação; \(c\) \(\rm [ms^{-1}]\), é a velocidade da luz; \(k_B\) \(\rm [JK^{-1}]\), é a constante de Boltzmann; e \(T\) \(\rm [K]\), é a temperatura do sistema.

A Fig. 4.1, parte superior, apresenta a curva de Planck para a temperatura da superfície do Sol. Como se vê na figura, e como se vê todos os dias, grande parte da radiação é vísível: \(f = 400-750 \times 10^{12}\) Hz. A figura também mostra que o Sol emite no infravermelho (menor que 400 THz) e no ultravioleta (maior que 750 THz). Compare com a parte inferior da figura. A curva para a temperatura do corpo humano se concentra muito longe do visível, exclusivamente no infravermelho: \(f = 1-400 \times 10^{12}\) Hz. Os humanos não brilham como vagalumes, são as tecnologias inovadoras que nos ajudam ver “nosso brilho”.

Figura 4.1: Lei de Planck para a temperatura da superfície do Sol (parte superior) e para a temperatura corporal.

4.1 Número de fótons

Na lei de Planck, o termo que leva a temperatura é a função número de fóton:

\[\begin{equation} \langle n \rangle = \frac{1}{\exp (\hbar \omega / k_B T ) - 1} . \tag{4.2} \end{equation}\]

Exibe o número médio de fótons na frequência \(\omega\) e temperatura \(T\). Tal número é o número de ocupação de fóton na radiação de corpo negro (Mandel 1979). A (4.2) também é conhecida como função de distribuição de Bose-Einstein (Dahmen 2005). Nos ajuda a responder a seguinte pergunta:

Na temperatura \(T_{\rm box}\), quantos fótons existem com a frequência \(\omega_{\star\star\star}\)?

Nessa temperatura, esperamos encontrar \(\langle n_{\star\star\star} \rangle\) fótons \(\omega_{\star\star\star}\).

A curiosidade vai passar, se fizermos esta conta:

\[\begin{equation} \langle n _ {\star\star\star} \rangle = \frac{1}{\exp (\hbar \omega _ {\star\star\star} / k _ B T _ {\rm box} ) - 1} . \tag{4.3} \end{equation}\]

A Fig. 4.2, parte superior, mostra o espectro da função número de fóton para a temperatura da superfície do Sol (parte inferior, temperatura corporal). Analisando os gráficos, fótons visíveis são emitidos apenas pelo Sol. A curva que representa o corpo humano zera na região do visível e dispara somente no infravermelho.

Figura 4.2: Função número de fóton para a temperatura da superfície do Sol (parte superior) e para a temperatura corporal.

4.2 Energia de excitação

A energia de excitação, equação (3.10), também é influenciada pela temperatura:

\[\begin{equation} E = \frac{\hbar \omega}{\exp (\hbar \omega / k _ B T ) - 1} . \tag{4.4} \end{equation}\]

A energia de excitação também é chamada de energia térmica.

Aqui, nossa curiosidade é outra:

Na temperatura \(T_{\rm box}\), qual é a energia de excitação produzida pelo fóton \(\omega_{\star\star\star}\)?

Nessa temperatura, o fóton \(\omega_{\star\star\star}\) produz esta energia térmica:

\[\begin{equation} E _ {\star\star\star} = \frac{\hbar \omega _ {\star\star\star}}{\exp (\hbar \omega _ {\star\star\star} / k _ B T _ {\rm box}) - 1} . \tag{4.5} \end{equation}\]

A Fig. 4.3, parte superior, mostra o espectro de energia térmica pruduzido pela superfície do Sol (parte inferior, produzido pelo corpo humano). A analisar os gráficos, o corpo humano não produz energia térmica na faixa do visível (400 – 750 THz). Sua especialidade é produzir no infravermelho (abaixo de 400 THz). O Sol produz abundante energia térmica na faixa do visível, ademais, produz no infravermelho e ultravioleta (acima de 750 THz). Fonte de informação, o Solar Dynamics Observatory, da NASA, estuda a atividade solar e nos ajudar a entender a estrela com a qual vivemos.

Figura 4.3: Energia de excitação para a temperatura da superfície do Sol (parte superior) e para a temperatura corporal.

4.3 Fóton visível e invisível

As mesmas fórmulas que geram curvas espectrais (em função da frequência), também podem gerar curvas em função da temperatura – veja as equações (4.2) e (4.4). Vamos, então, seguir o fóton com frequência \(f = 400 \times 10^{12}\) Hz (400 THz).

O fóton 400 THz é vermelho. A Fig. 4.4, parte superior, mostra como a quantidade desse fóton cresce com o aumento da temperatura; na parte inferior, como a energia térmica aumenta. Os dois valores estão interligados: se há mais fótons, há mais energia térmica no sistema (fóton/caixa).

Figura 4.4: Quantidade do fóton 400 THz (parte superior) e energia de excitação desse fóton.

O fóton da figura anterior é visível, então, precisa de temperatura elevada para começar a surgir. Vamos, então, seguir um fóton infravermelho: o fóton com frequência \(f = 4 \times 10^{12}\) Hz (4 THz). A Fig. 4.5, parte superior, mostra como a quantidade desse fóton cresce com o aumento da temperatura (parte inferior, como a energia térmica aumenta). É nidido que ele começa a surgir próximo do início da escala de temperatura. Nota-se, também, que a quantidade dele é bem maior do que a quantidade do fóton anterior (informação no eixo \(y\)). Isso nos faz pensar:

Há mais “objetos” invisíveis no Universo do que visíveis.

Figura 4.5: Quantidade do fóton 4 THz (parte superior) e energia de excitação desse fóton.

4.4 Energia interna

A energia de excitação, ou energia térmica, é a energia produzida exclusivamente pelos fótons – veja a equação (4.4). Porém, no interior da caixa, também há energia de ponto zero, que não sofre influência da temperatura, apenas da frequência. Levando isso em conta, a energia interna, ou a energia total dentro da caixa é:

\[\begin{equation} U = \left( \frac{1}{\exp (\hbar \omega / k _ B T ) - 1} + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega . \tag{4.5} \end{equation}\]

A Fig. 4.6, parte superior, mostra o espectro de energia interna ao redor da superfície do Sol (parte inferior, ao redor do corpo humano). Por causa da energia de ponto zero crescer linearmente com a frequência, as curvas são quase lineares – compare com as formas da energia de excitação, Fig. 4.3.

Figura 4.6: Energia interna para a temperatura da superfície do Sol (parte superior) e para a temperatura corporal.

5 Leitura adicional: propagação e polarização de ondas

Vamos apresentar algumas propriedades gerais das ondas eletromagnéticas.

Em um meio com permissividade \(\varepsilon\) e permeabilidade \(\mu\), uma onda eletromagnética, que será rotulada de onda 1, propaga na direção e sentido de seu vetor de onda:

\[\begin{equation} \vec{k} _ {1} = k _ 1^{\rm meio} \hat{k} _ {1} . \tag{5.1} \end{equation}\]

A magnitude do vetor de onda se relaciona com frequência dessa onda:

\[\begin{equation} \omega _ 1 = \frac{k _ 1^{\rm meio}}{\sqrt{\varepsilon \mu}} . \tag{5.2} \end{equation}\]

Nota-se que \(\vec{k}\) é um vetor muito importante: especifica a direção e o sentido de propagação da onda e seu módulo determina a frequência; além disso, quando se representa o campo eletromagnético como oscilador quântico, define o momento do fóton: \(\vec{p} =\hbar \vec{k}\).

No vácuo, a frequência da onda não muda de valor, por exemplo, no vácuo e no meio, a onda \(400\) THz é vermelha, entretanto, a magnitude do vetor de onda se altera, porque se alteram os valores da permissividade e permeabilidade:

\[\begin{equation} \omega _ 1 = \frac{k _ 1^{\rm vácuo}}{\sqrt{\varepsilon _ 0 \mu _ 0}}. \tag{5.3} \end{equation}\]

A velocidade de qualquer onda eletromagnética no vácuo é assim definida:

\[\begin{equation} c^{\rm vácuo} \equiv \frac{1}{\sqrt{\varepsilon _ 0 \mu _ 0}} . \tag{5.4} \end{equation}\]

A equação (5.3) pode ser reescrita:

\[\begin{equation} \omega _ 1 = c^{\rm vácuo} k _ 1^{\rm vácuo} \longrightarrow 2\pi f _ 1 = c^{\rm vácuo} \frac{2\pi}{\lambda _ 1^{\rm vácuo}} . \tag{5.5} \end{equation}\]

O que implica em:

\[\begin{equation} c^{\rm vácuo} = \lambda _ 1^{\rm vácuo} f _ 1. \tag{5.6} \end{equation}\]

A (5.2) também pode ser reescrita. Nesse caso, conclui-se que a velocidade da onda no meio é diferente da velocidade no vácuo:

\[\begin{equation} c^{\rm meio} = \lambda _ 1^{\rm meio} f _ 1 . \tag{5.7} \end{equation}\]

De fato, o valor é outro:

\[\begin{equation} c^{\rm meio} \equiv \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} . \tag{5.8} \end{equation}\]

Geralmente, encontram-se tabelas com valores de índice de refração. Porém, (5.2) está escrita em função da permissividade e permeabilidade. Então, é conveniente transformá-la em função do índice de refração:

\[\begin{equation} n^{\rm meio} = \frac{c^{\rm vácuo}}{c^{\rm meio}} = \frac{\sqrt{\varepsilon \mu}}{\sqrt{\varepsilon _ 0 \mu _ 0}} . \tag{5.9} \end{equation}\]

Multiplicando e dividindo (5.2) por \(\sqrt{\varepsilon _ 0 \mu _ 0}\), obtém-se:

\[\begin{equation} \omega _ 1 = \frac{k _ 1^{\rm meio}}{\sqrt{\varepsilon \mu}} \frac{\sqrt{\varepsilon _ 0 \mu _ 0}}{\sqrt{\varepsilon _ 0 \mu _ 0}} \longrightarrow \omega _ 1 = \frac{k _ 1^{\rm meio} c^{\rm vácuo}}{n^{\rm meio}} . \tag{5.10} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} k _ 1^{\rm meio} = \frac{\omega _ 1 n^{\rm meio}}{c^{\rm vácuo}} . \tag{5.11} \end{equation}\]

Isso é muito útil: sabendo-se o índice de refração e a frequência da onda, determina-se a magnitude do vetor de onda (número de onda).

Fiquei intrigado: – A frequência da onda não muda de valor?

Depois de analisar as equações (5.6) e (5.7) e o exemplo numérico acima, entendi o motivo! Um ponto no vácuo “sobe” e “desce” quando cristas de onda passam por ele. No meio, a onda diminui o espaçamento entre cristas e, também, a velocidade de propagação das cristas. Então, um ponto no meio vai demorar o mesmo tempo para “subir” e “descer” – a comparar com um ponto no vácuo (maior espaçamento entre cristas e, também, maior velocidade de propagação das cristas).

\([\) Se o espaçamento entre cristas diminuísse (ok), porém, hipoteticamente, a velocidade não mudasse de valor (bug), daí, nessa hipótese absurda, o tempo para “subir” e “descer” iria diminuir e a frequência iria aumentar (bug). \(]\)

Algo que não está sujeito à transferência: Uma vez criada, uma onda eletromagnética permanece com a mesma frequência até ser aniquilada. Isso explica por que uma onda não transfere frequência para outra. Por exemplo, a onda \(400\) THz não transfere \(100\) THz de sua frequência para se tornar a onda \(300\) THz (bug). Na linguagem dos fótons, dizemos que um fóton não troca energia com outro: o fóton é uma partícula elementar indivisível. É por isso que se pode decompor um pacote de ondas em um espectro de ondas individuais. Ou, é por isso que se pode superpor ondas individuais para formar um pacote de ondas. Conforme as equações abaixo, não há transferência de frequência na superposição, mas, sim, combinação.

Onda 1:

\[\begin{equation} F _ {1} = A \cos \left( \omega _ {1} t \right) . \tag{5.12} \end{equation}\]

Onda 2:

\[\begin{equation} F _ {2} = A \cos \left( \omega _ {2} t \right) . \tag{5.13} \end{equation}\]

Superposição:

\[\begin{equation} F = F _ {1} + F _ {2} . \tag{5.14} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} F = 2A \cos \Big( \tfrac{1}{2}(\omega _ {2} - \omega _ {1})t \Big) \cos \Big( \tfrac{1}{2}(\omega _ {2} + \omega _ {1})t \Big) . \tag{5.15} \end{equation}\]

A Fig. 5.1 mostra a superposição das ondas \(f_1 = 400\) THz e \(f_2 = 450\) THz. Primeiro, pela equação (5.14) – cinza –, depois, pela fórmula trigonométrica (5.15) – amarelo. Ao fundo, pode-se ver a onda (5.12) – vermelho – e a onda (5.13) – ciano; \(A = 1\), unidade arbitrária.

Figura 5.1: Fenômeno de batimento – superposição de duas ondas com frequências diferentes.

De acordo com a equação (5.1), a propagação da onda eletromagnética se dá na direção do vetor de onda.

E qual é a direção do campo elétrico?

A onda eletromagnética é uma onda plana, formada por campos que oscilam transversais à direção de propagação, e, também, que oscilam perpendiculares entre si.

Enquanto a onda caminha, a ponta do vetor campo elétrico desenha uma figura pelo espaço. Se a figura é uma linha, dizemos que a polarização da onda é linear. Se é um círculo, a polarização é circular. E se é uma elipse, a polarização é elíptica. Ademais, pode ocorrer: Polarização linear com linha inclinada à direita e à esquerda; polarização circular que circula à direita e à esquerda; e polarização elíptica que gira à direita e à esquerda. Dito isso, o vetor de polarização pode assumir duas direções: \(\vec{\Lambda}^{(1)}\) e \(\vec{\Lambda}^{(2)}\).

Um exemplo famoso de material que polariza a luz é o Polaroid. É um tipo de plástico feito de molécula que absorve o campo elétrico que oscila paralelo à direção da molécula e, praticamente, não absorve o campo perpendicular à direção da molécula. Assim, se o Polaroid tem molécula alinhada em \(x\), por exemplo, a luz é polarizada em \(y\), preferencialmente.

Vamos completar as informações sobre a onda 1.

A onda 1 propaga na direção \(\vec{k}_{1}\) com polarização \(\vec{\Lambda}_{1}\).

Outra maneira de dizer:

A onda 1 está no modo \(({k}_{1},\Lambda_{1})\).

É importante entender a abrangência dessa notação: Há informação sobre a direção de propagação \((\vec{k}_{1})\), frequência \((\omega_{1})\), e polarização da onda \((\vec{\Lambda}_{1})\).

Na sequência:

A onda 2 está no modo \(({k}_{2},\Lambda_{2})\).

E assim por diante:

A onda \(k\) está no modo \(({k}_{k},\Lambda_{k})\).

Isso ficou confuso! Há necessidade de mudar a notação:

A onda \(m\) está no modo \(({k}_{m},\Lambda_{m})\).

Se dissermos que duas ondas estão no mesmo modo, estamos dizendo que elas possuem o mesmo vetor de propagação, a mesma frequência e a mesma polarização.

Às vezes, desejamos destacar muitos modos:

Os modos da radiação são \(({k}_{1} , \Lambda_{1})\); \(({k}_{2} , \Lambda_{2})\); \(({k}_{m} , \Lambda_{m})\); etc.

Há também situações em que desejamos escrever uma onda como superposição de todos os modos \(({k}_{m} , \Lambda _{m})\) possíveis. Vamos exemplificar com o campo elétrico:

\[\begin{equation} \large \vec{E} (\vec{r},t) = \sum _ {m=1} ^{\infty} \vec{E} _ { k _ {m} , \Lambda _ {m}^{(1)} } (\vec{r},t) + \sum _ {m=1} ^{\infty} \vec{E} _ { k _ {m} , \Lambda _ {m}^{(2)} } (\vec{r},t) . \tag{5.9} \end{equation}\]

\(\vec{E}_{k_{m},\Lambda _{m}^{(1)}}\) é o campo elétrico do modo \(({k}_{m},\Lambda_{m}^{(1)})\):

\[\begin{equation} \large \vec{E} _ { k _ {m} , \Lambda _ {m}^{(1)} } (\vec{r},t) = E _ {m} e^{i(\vec{k} _ {m} \cdot \vec{r} - \omega _ {m}t + \delta)} \vec{\Lambda} _ {m} ^{(1)}. \tag{5.10} \end{equation}\]

\(\vec{E}_{k_{m},\Lambda _{m}^{(2)}}\) é o campo elétrico do modo \(({k}_{m},\Lambda_{m}^{(2)})\):

\[\begin{equation} \large \vec{E} _ { \vec{k} _ {m} , \Lambda _ {m}^{(2)} } (\vec{r},t) = E _ {m} e^{i(\vec{k} _ {m} \cdot \vec{r} - \omega _ {m}t + \delta)} \vec{\Lambda} _ {m} ^{(2)}. \tag{5.11} \end{equation}\]

\(\vec{\Lambda} _ {m} ^{(1)}\) e \(\vec{\Lambda} _ {m} ^{(2)}\) representam a polarização (linear, ou circular, ou elíptica) à direita e à esquerda.

6 Leitura adicional: maneiras de escrever a lei de Planck

A lei de Planck pode ser escrita em função do comprimento de onda, frequência angular e energia.

\(\small \blacksquare\) Em função do comprimento de onda:

\[\begin{equation} u(\lambda) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5} \frac{1}{\exp (hc / \lambda k _ B T ) - 1} . \tag{6.1} \end{equation}\]

Unidade: densidade de energia por unidade de intervalo de comprimento de onda:

\[\begin{equation} [u(\lambda)] \to \frac{\rm J}{\rm m^3 m} . \tag{6.2} \end{equation}\]

\(\small \blacksquare\) Em função da frequência angular:

\[\begin{equation} u(\lambda) d\lambda = u(\omega) d\omega \to u(\omega) = u(\lambda) \left| \frac{d\lambda}{d\omega} \right| . \tag{6.3} \end{equation}\]

Sendo:

\[\begin{equation} \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} \to \left| \frac{d\lambda}{d\omega} \right| = \frac{2\pi c}{\omega^2} . \tag{6.4} \end{equation}\]

O que implica em:

\[\begin{equation} u(\omega, T) = \frac{\hbar \omega^3 }{\pi^2 c^3} \frac{1}{\exp (\hbar \omega / k _ B T ) - 1} . \tag{6.5} \end{equation}\]

Unidade: densidade de energia por unidade de intervalo de frequência angular:

\[\begin{equation} [u(\omega)] \to \frac{\rm J}{\rm m^3 s^{-1}} . \tag{6.6} \end{equation}\]

\(\small \blacksquare\) Em função da energia:

\[\begin{equation} u(\omega) d\omega = u(E) dE \to u(E) = u(\omega) \left| \frac{d\omega}{dE} \right| . \tag{6.7} \end{equation}\]

Sendo:

\[\begin{equation} \omega = \frac{E}{\hbar} \to \left| \frac{d\omega}{dE} \right| = \frac{1}{\hbar} . \tag{6.8} \end{equation}\]

O que implica em:

\[\begin{equation} u(E) = \frac{E ^3}{\pi^2 c^3 \hbar^3} \frac{1}{\exp (E / k _ B T ) - 1} . \tag{6.9} \end{equation}\]

Unidade: densidade de energia por unidade de intervalo de energia:

\[\begin{equation} [u(E)] \to \frac{\rm J}{\rm m^3 J} . \tag{6.10} \end{equation}\]

\(\small \blacksquare\) Em função da frequência ordinária:

\[\begin{equation} u(E) dE = u(\nu) d\nu \to u(\nu) = u(E) \left| \frac{dE}{d\nu} \right| . \tag{6.11} \end{equation}\]

Sendo:

\[\begin{equation} \nu = \frac{E}{h} \to \left| \frac{dE}{d\nu} \right| = \frac{1}{h} . \tag{6.12} \end{equation}\]

O que implica em:

\[\begin{equation} u(E) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{\exp (h\nu / k _ B T ) - 1} . \tag{6.13} \end{equation}\]

Unidade: densidade de energia por unidade de intervalo de frequência ordinária:

\[\begin{equation} [u(E)] \to \frac{\rm J}{\rm m^3 Hz} . \tag{6.14} \end{equation}\]

7 Leitura adicional: maneiras de exibir a frequência

As ondas eletromagnéticas podem ser apresentadas em função da frequência \((f)\) ou em função da frequência angular \((\omega)\). E, muitas vezes, ouvimos: – “A frequência é de tal valor.” De qual frequência estão falando? Isso significa que precisamos de uma convenção tal como enfatizado pelo Prof. Wolfgang Ketterle, no curso Resonance I, timeline 1:09:15, compartilhado pelo MIT OPENCOURSEWARE, uma plataforma online com cursos do MIT (Massachusetts Institute of Technology).

Vamos exemplificar com a onda de cor vermelha:

\[\begin{equation} \begin{aligned} f &= 400 \times 10^{12}\ {\rm Hz} ,\\ \omega &= 2\pi f = 2513 \times 10^{12}\ {\rm s^{-1}} . \end{aligned} \tag{7.1} \end{equation}\]

Ficou claro: A frequência é exibida em \(\rm Hz\) e a frequência angular em \(\rm s^{-1}\). Observe, também, que os valores numéricos são diferentes: a frequência angular está “inchada” pelo fator \(2\pi\).

Então, se falarmos: – “A frequência é de tantos tera hertz,” estamos falando da frequência \((f)\). Mas, se falarmos: – “A frequência é de tantos tera por segundo,” estamos nos referindo à frequência angular \((\omega)\), “inchada” pelo fator \(2\pi\).

8 Conclusão

Vimos o campo eletromagnético representado pelo oscilador quântico. Nessa representação, conclui-se que a energia contínua do campo passa a ser discreta, quantizada em fótons; também, que a energia do campo não parte do zero – há energia, na ausência de fótons. A comparar com a teoria clássica, os resultados quânticos são inovadores.

Vimos também que há correspondência entre o oscilador e o fóton:

\(\bullet\) A excitação própria do oscilador \(( \hbar \omega )\) \(\to\) O fóton \(\hbar \omega\).

\(\bullet\) A frequência própria do oscilador \(( \omega )\) \(\to\) A frequência do fóton, \(\omega\).

\(\bullet\) O número de ocupação do oscilador \(( n )\) \(\to\) O número de fótons, \(n\).

\(\bullet\) A energia de excitação do oscilador \(( n \hbar \omega )\) \(\to\) A energia de \(n\) fótons, \(n \hbar \omega\).

\(\bullet\) O número de ocupação, na frequência \(\omega\) e na temperatura \(T\) \(\left( \langle n \rangle \right)\) \(\to\) O número médio de fótons, na frequência \(\omega\) e na temperatura \(T\), \(\langle n \rangle\).

\(\bullet\) A criação \((a^{+})\) ou aniquilação \((a)\) de excitação própria \(\to\) A criação \((a^{+})\) ou aniquilação \((a)\) de fóton.

\(\bullet\) A energia de ponto zero do oscilador \((\tfrac{1}{2}\hbar \omega)\) \(\to\) A energia do vácuo de fótons, \(\tfrac{1}{2}\hbar \omega\).