1 Introdução

É comum ouvir falar sobre emissão ou absorção de fótons pela matéria.

Há dois tipos de emissão: a espontânea e a estimulada. A emissão espontânea, como o nome aponta, acontece de maneira voluntária, sem causa exterior aparente. Por outro lado, a emissão estimulada ocorre quando um agente externo, como o campo elétrico da radiação eletromagnética, impulsiona a emissão de fótons. Na contramão da emissão estimulada, há a absorção estimulada, em que fótons são tragados pela matéria. Do ponto de vista quântico, a emissão e a absorção ocorrem por causa de transições de estados. Na absorção de fótons, o estado da matéria passa de estados de energia baixa para estados de energia alta, e, na emissão de fótons, o estado da matéria passa de estados de energia alta para estados de energia baixa.

A teoria utilizada para descrever a interação dos fótons com a matéria é chamada de semi-clássica, visto que a radiação é descrita por meio da teoria clássica de Maxwell, enquanto que o estado da matéria é descrito pela teoria quântica de Schrödinger.

Neste artigo vamos estudar a emissão e a absorção de fótons pela matéria. Antes do advento da mecânica quântica, veremos como Albert Einstein esclareceu o assunto e principalmente como criou o conceito de emissão espontânea. A absorção e a emissão também serão estudadas por meio da estrutura da mecânica quântica, tais como equação de Schrödinger e teoria de perturbação dependente do tempo, e fazendo uso de conceitos relacionados com o campo eletromagnético clássico, tais como dipolo elétrico e densidade de energia eletromagnética.

2 Coeficientes de Einstein

O primeiro assunto será sobre a emissão espontânea de fótons pela matéria.

O conceito de emissão espontânea foi “colocado pela mão Einstein” (Einstein 1917). Isso porque, a emissão espontânea não pode ser descrita pela teoria eletromagnética clássica, sendo indispensável a teoria quântica, na qual a radiação eletromagnética vibra como vibram osciladores harmônicos quânticos.

Figura 2.1: Caricatura: Prof. Celso de Araujo Duarte, Departamento de Física (UFPR).

O Prof. Luis Navarro Veguillas, da Facultat de Física, da Universitat de Barcelona, disponibiliza o trabalho original de Einstein, no site Una muestra de trabajos clásicos (os originais em alemão foram substituídos por uma tradução em inglês):

A. Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung (On the Quantum Theory of Radiation), Physikalische Zeitschrift 18, 121-128 (1917); Esse artigo foi reimpresso por D. Ter Haar no livro The Old Quantum Theory, Pergamon Press, Oxford (1967); A primeira versão desse artigo foi publicada em Physikalische Gesellschaft Zürich, Mitteilungen 16, 47-62 (1916).

Vamos lembrar que Schrödinger publicou sua equação em 1926, e a quantização do campo eletromagnético foi realizada pela primeira vez por Dirac (Dirac 1927). Em 1916, Einstein não tratou a emissão por meio da teoria eletromagnética quântica. Atacou o problema de outra maneira. Considerou a matéria em equilíbrio com a radiação, e usou o resultado quântico de Planck, no qual a densidade espectral de energia de radiação obedece a seguinte lei (Planck 1900):

\[\begin{equation} u(\omega, T) = \frac{\hbar \omega ^3 }{\pi ^2 c^3} \frac{1}{\exp (\hbar \omega / k_B T ) - 1} . \tag{2.1} \end{equation}\]

Na equação acima, \(\hbar\) é a constante de Planck (reduzida por \(2\pi\)) \(\rm [Js]\), \(\omega\) é a frequência da radiação \(\rm [s^{-1}]\), \(c\) é a velocidade da luz \(\rm [ms^{-1}]\), \(k_B\) é a constante de Boltzmann \(\rm [JK^{-1}]\), e \(T\) é a temperatura \(\rm [K]\).

Einstein desenvolveu uma equação para comparar com a equação (2.1) e, assim, deduzir o que hoje é chamado de coeficientes de Einstein.

A partir de agora, os coeficientes de Einstein serão deduzidos.

Vamos usar como apoio à dedução, um sistema que possui dois níveis de energia: \(E_2\), será o nível de energia do estado excitado, e \(E_1\), o nível de energia do estado fundamental. Um fóton é absorvido por esse sistema se possuir a frequência angular:

\[\begin{equation} \omega = \frac{E_2 - E_1}{\hbar} . \tag{2.2} \end{equation}\]

Ademais, um fóton emitido por esse sistema apresenta essa mesma frequência.

O processo é dinâmico, isso quer dizer que o sitema 2-níveis absorve e emite fótons de maneira ininterrupta. Com uma diferença: só há um tipo de absorção, a absorção estimilada pelo campo de radiação, todavia, há dois tipos de emissão: a espontânea e a estimulada.

Se pensarmos que 1 mol de sitema 2-níveis contém \(6 \times 10^{23}\) sistemas idênticos, podemos imagimar um recipiente adiabático contendo, por exemplo, um gás de moléculas desse sistema, com \(n_1\) moléculas por unidade de volume no nível de energia \(E_1\); e \(n_2\) moléculas por unidade de volume no nível de energia \(E_2\); e também, com fótons de frequência \(\omega\), e densidade espectral de energia \(u(\omega)\). Nessas condições, o número de absorções estimuladas por unidade de tempo por unidade de volume é escrito como \(B_1 n_1 u(\omega)\); e o número de emissões estimuladas por unidade de tempo por unidade de volume é escrito como \(B_2 n_2 u(\omega)\); onde \(B_1\) e \(B_2\) são os coeficientes de Einstein de absorção e emissão estimulada, respectivamente. As emissões espontâneas são um caso à parte, pois não dependem da radiação que se encontra no recipiente. Então, o número de emissões espontâneas por unidade de tempo por unidade de volume é simplesmente escrito como \(An_2\); onde \(A\) é o coeficiente de Einstein de emissão espontânea.

O gás de sistema 2-níveis e a radiação que o rodeia estão em equilíbrio termodinâmico. Isso quer dizer que a quantidade de absorções e a quantidade de emissões são iguais:

\[\begin{equation} B_1 n_1 u(\omega) = B_2 n_2 u(\omega) + An_2 . \tag{2.3} \end{equation}\]

Manipulando a equação acima, chega-se ao resultado:

\[\begin{equation} u(\omega) = \frac{A}{ \frac{n_1}{n_2} B_1 - B_2} . \tag{2.4} \end{equation}\]

O próximo passo é lembrar que a razão entre o número de moléculas pode ser descrita pela lei de Boltzmann:

\[\begin{equation} \frac{n_1}{n_2} = \exp \left( \frac{\hbar \omega}{k_B T} \right) . \tag{2.5} \end{equation}\]

Substituindo a equação acima na equação (2.4), tem-se:

\[\begin{equation} u(\omega) = \frac{A}{B_1 \exp (\hbar \omega / k_B T ) - B_2} . \tag{2.6} \end{equation}\]

Por fim, ao comparar a equação que Planck deduzio (2.1), com a equação que Einstein deduzio (2.6), obtém-se que \(B_1=B_2\), e que:

\[\begin{equation} A = \frac{\hbar \omega ^3 }{\pi ^2 c ^3} B. \tag{2.7} \end{equation}\]

Os coeficientes \(B_1\) e \(B_2\) serem iguais a um certo \(B\), significa que a probabilidade de ocorrer absorção estimulada é igual à probabilidade de ocorrer emissão estimulada.

O coeficiente \(A\) ser função do coeficiente \(B\), significa que a probabilidade de emissão espontânea pode ser maior ou menor que probabilidade de emissão estimulada, e quem influencia diretamente essa competição, é a frequência da radiação \(\omega\), definida em (2.2). Isso nos faz concluir:

Se o gap entre os níveis de energia for grande, a emissão espontânea prevalece sobre a estimulada; se for pequeno, a emissão estimulada cresce em importância.

Os coeficientes de Einstein não possuem as mesmas unidades.

Se \(An_2\) representa o número de moléculas realizando emissões espontâneas por unidade de tempo por unidade volume, e \(n_2\) representa número de moléculas por unidade volume, a unidade do coeficiente \(A\) é:

\[\begin{equation} [A] \to \frac{1}{\rm s} . \tag{2.11} \end{equation}\]

O inverso de \(A\) tem unidade de tempo e é interpretado como tempo de duração da emissão espontânea. É o tempo que leva para ocorrer a transição espontânea \(_{(2 \to 1)}\). Visto ser o tempo para “esvaziar” o estado excitado, pode ser interpretado como tempo de vida do estado excitado em transição espontânea. Para qualquer das interpretações, defini-se esse tempo como:

\[\begin{equation} t_A = \frac{1}{A} . \tag{2.12} \end{equation}\]

Para fazer aparecer as unidades do coeficiente \(B\), é apropriado reescrever (2.7):

\[\begin{equation} B = \frac{\pi ^2 c ^3}{\hbar \omega ^3} A . \tag{2.13} \end{equation}\]

Substituindo as unidades das grandezas:

\[\begin{equation} [B] \to \frac{\rm m^3}{\rm J s^2} . \tag{2.14} \end{equation}\]

O tempo de duração da transição estimulada está vinculado à densidade espectral de energia da radiação estimuladora. Por definição, \(u(\omega)\) tem as unidades de energia por unidade de volume por unidade de intervalo de frequência:

\[\begin{equation} [u(\omega)] \to \frac{\rm J}{\rm m^3 s^{-1}} . \tag{2.15} \end{equation}\]

Fica claro que o produto \(B u(\omega)\) tem unidade de \(\rm s^{-1}\). Nesse sentido, pode-se definir o tempo de vida do estado excitado, sob a influência da radiação \(\omega\), como:

\[\begin{equation} t_B = \frac{1}{B} \times \frac{1}{u(\omega)} . \tag{2.16} \end{equation}\]

3 Teoria de perturbação dependente do tempo

Os coeficientes de Einstein ajudam a entender a competição entre emissões estimuladas e espontâneas. Todavia, o assunto ainda está um pouco vago, pois não há expressões que liguem \(A\) e \(B\) ao interior do átomo. É necessário dar um passo adiante, trazendo para a discussão conceitos da mecânica quântica. Einstein usou um princípio da mecânica quântica na dedução de seus coeficientes: o da quantização da energia, embutido por Planck quando deduzio sua lei, equação (2.1). Agora, vamos abrir a “caixa de ferramentas e colocar sobre a mesa valiosos instrumentos de trabalho.” Começaremos “desencaixando” a teoria de perturbação dependente do tempo, de Paul A. M. Dirac, desenvolvedor de teoria da mecânica quântica (Dirac 1926). Você pode baixar o artigo original no site Una muestra de trabajos clásicos.

A técnica de perturbar algo é utilizada quando esse algo não pode ser resolvido de maneira exata. Há solução de outro problema, representado pelo hamiltoniano \(H^0\), mas, deseja-se obter a solução do problema representado pelo hamiltoniano \(H\).

Na teoria de perturbação dependente do tempo, perturba-se o hamiltoniano não-perturbado por um termo que se modifica com o tempo:

\[\begin{equation} H(t) = H^0 + h(t) . \tag{3.1} \end{equation}\]

Fica claro que se o termo perturbativo for ajustado em \(h(t) = 0\), o problema volta a ser não-perturbado.

O problema que sabemos resolver tem o aspecto:

\[\begin{equation} i \hbar \frac{\partial \Psi^0(t)}{\partial t} = H^0 \Psi^0(t) . \tag{3.2} \end{equation}\]

Trata-se da equação de Schrödinger dependente do tempo, mas com uma particularidade: o potencial só depende da posição, implicando que a solução pode ser escrita como produto de uma parte estacionária e outra temporal:

\[\begin{equation} \Psi^0(t) = \sum_n c^0_n \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} . \tag{3.3} \end{equation}\]

A parte estacionária é solução da equação de Schrödinger indenpendente do tempo:

\[\begin{equation} H^0 \varphi^0_n = E^0_n \varphi^0_n . \tag{3.4} \end{equation}\]

Nota: O zero colocado acima das grandezas não é para indicar a operação matemática “um número elevado a zero é igual a 1,” mas é para deixar claro que as grandezas fazem parte do problema não-perturbado.

De outra parte, o problema que desejamos resolver tem o aspecto:

\[\begin{equation} i \hbar \frac{\partial \Psi(t)}{\partial t} = H(t) \Psi(t); \tag{3.5} \end{equation}\]

que tem solução expandida na base das autofunções estacionárias \(\{ \varphi^0_1, \varphi^0_2, \varphi^0_3, \dots \}\):

\[\begin{equation} \Psi(t) = \sum_n c_n(t) \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} . \tag{3.6} \end{equation}\]

Agora começa um trabalho puramente matemático. Visando determinar os coeficientes \(c_n(t)\), há necessidade de substituir a expanção (3.6) na equação de Schrödinger (3.5), lembrando que \(H(t)\) tem a forma (3.1):

\[\begin{equation} i \hbar \left( \sum_n \frac{d c_n}{dt} \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} + \sum_n \frac{-i E^0_n}{\hbar} c_n \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} \right) \\ = \sum_n [H^0 + h(t)] c_n \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} . \tag{3.7} \end{equation}\]

Usando (3.4):

\[\begin{equation} i \hbar \sum_n \frac{d c_n}{dt} \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} + \sum_n E^0_n c_n \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} \\ = \sum_n [E^0 + h(t)] c_n \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} . \tag{3.8} \end{equation}\]

Após o cancelamento de termos:

\[\begin{equation} i \hbar \sum_n \frac{d c_n}{dt} \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} = \sum_n h(t) c_n \varphi^0_n e^{-i E^0_n t / \hbar} . \tag{3.9} \end{equation}\]

Nesse ponto, pode-se selecionar uma autofunção da base de autofunções estacionárias para realizar o produto escalar com a equação acima. Vamos imaginar que a escolhida seja a centésima. Nesse caso:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle \varphi^0 _ {100} | \varphi^0 _ {n} \rangle &= 0 ,\\ \langle \varphi^0 _ {100} | \varphi^0 _ {100} \rangle &= 1 . \end{aligned} \tag{3.10} \end{equation}\]

Então:

\[\begin{equation} i \hbar \sum_n \frac{d c_n}{dt} \langle \varphi^0 _ {100} | \varphi^0 _ {n} \rangle e^{-i E^0_n t / \hbar} = \sum_n c_n \langle \varphi^0 _ {100} |h(t)| \varphi^0 _ {n} \rangle e^{-i E^0_n t / \hbar} . \tag{3.11} \end{equation}\]

O que resulta em:

\[\begin{equation} i \hbar \frac{d c _ {100}}{dt} e^{-i E^0 _ {100} t / \hbar} = \sum_n c_n \langle \varphi^0 _ {100} |h(t)| \varphi^0 _ {n} \rangle e^{-i E^0_n t / \hbar} . \tag{3.12} \end{equation}\]

Ou:

Antes de resolver essa equação, vamos interpretar o coeficiente \(c_{100}(t)\). Ele aparece pela primeira vez na expansão (3.6):

\[\begin{equation} \begin{aligned} \Psi(t) &= c_1(t) \varphi^0_1 e^{-i E^0_1 t / \hbar} + c_2(t) \varphi^0_2 e^{-i E^0_2 t / \hbar} + \cdots \\ &+ c _ {100}(t) \varphi^0 _ {100} e^{-i E^0 _ {100} t / \hbar} + \cdots \end{aligned} \tag{3.14} \end{equation}\]

Diante do exposto:

\(|c_{100}(t_0)|^2\) é a probabilidade do estado estacionário \(\varphi^0_{100}\), de energia \(E_{100}\), estar ocupado no instante \(t_0\).

\(c_{100}(t_0)\) é a amplitude de probabilidade de ocupação do estado (\(n=100\)), no tempo \(t_0\).

\(|c_{100}(t_0)|^2\) também pode ser interpretado como probabilidade de transição entre estados, no tempo \(t_0\), sendo o estado final o estado (\(n=100\)).

A equação (3.13) foi desenvolvida para a ocupação do centésimo estado, mas ela vale para qualquer outro estado \(n\).

O caso de estudo é um sistema de dois níveis. Substituindo “100” por “2,” a probabilidade de ocupação do estado excitado (\(n=2\)) é determinada por:

\[\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{d c _ {2}}{dt} &= c_1(t) \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / \hbar} \\ &+ c_2(t) \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {2} \rangle e^{i (E^0 _ {2} - E^0_2) t / \hbar} . \end{aligned} \tag{3.15} \end{equation}\]

Ou:

Sendo a frequência de transição definida como:

\[\begin{equation} \omega _ {21} = \frac{E^0 _ {2}-E^0_1}{\hbar} . \tag{3.17} \end{equation}\]

Nota: \(\langle \varphi^0_{2}|h(t)| \varphi^0_{1} \rangle\) é o elemento da matriz de transição, o qual conecta o estado inicial (\(n=1\)) ao final (\(n=2\)); em uma experiência de absorção.

Analogamente, substituindo “100” por “1,” a probabilidade de ocupação do estado fundamental (\(n=1\)) é determinada por:

\[\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{d c _ {1}}{dt} &= c_1(t) \langle \varphi^0 _ {1} |h(t)| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i (E^0 _ {1} - E^0_1) t / \hbar} \\ &+ c_2(t) \langle \varphi^0 _ {1} |h(t)| \varphi^0 _ {2} \rangle e^{i (E^0 _ {1} - E^0_2) t / \hbar} . \end{aligned} \tag{3.18} \end{equation}\]

Ou:

Nota: \(\langle \varphi^0_{1}|h(t)| \varphi^0_{2} \rangle\) é outro elemento da matriz de transição, nesse caso, conecta o estado inicial (\(n=2\)) ao final (\(n=1\)); em uma experiência de emissão estimulada.

As equações (3.16) e (3.19) nos ajudam a responder uma questão importante: Se inicialmente o sistema 2-níveis está no estado fundamental, qual é a probabilidade dele subir para o estado excitado, no tempo \(t\)? E se inicialmente o sistema está no estado excitado, qual é a probabilidade dele baixar para o fundamental, no tempo \(t\)?

As próximas seções vão aprofundar as questões acima. Por hora, vamos fazer um teste radical: deligar a perturbação, fazendo \(h(t) = 0\). É evidente que \(c_1(t)\) e \(c_2(t)\) são constantes. Os valores poderiam ser \(c_1(t)=c_1(0)=1\) e \(c_2(t)=c_2(0)=0\), indicando que o estado ocupado estará sempre ocupado, e que não há probabilidade do estado vazio ser ocupado. Como não há perturbação, esses estados permaneceriam assim para sempre!

4 Aproximação de primeira ordem

Vamos expandir \(c_2(t)\) em uma série de potências que depende de certo parâmetro \(X\):

\[\begin{equation} c _ 2 = X^0 c _ {2}^{(0)} + X^1 c _ {2}^{(1)} + X^2 c _ {2}^{(2)} + \cdots . \tag{4.1} \end{equation}\]

Fazer o mesmo para \(c_1(t)\):

\[\begin{equation} c _ 1 = X^0 c _ {1}^{(0)} + X^1 c _ {1}^{(1)} + X^2 c _ {1}^{(2)} + \cdots . \tag{4.2} \end{equation}\]

Substituir as séries truncadas em primeira ordem na equação (3.16) (por conveniência, o método de trabalho também acrescenta o parâmetro na perturbação):

\[\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{d [c _ {2}^{(0)} + Xc _ {2}^{(1)} ]}{dt} &= [c _ {1}^{(0)} + Xc _ {1}^{(1)} ] \langle \varphi^0 _ {2} |Xh(t)| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / \hbar} \\ &+ [c _ {2}^{(0)} + Xc _ {2}^{(1)} ] \langle \varphi^0 _ {2} |Xh(t)| \varphi^0 _ {2} \rangle . \end{aligned} \tag{4.3} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{d [c _ {2}^{(0)} + Xc _ {2}^{(1)} ]}{dt} &= [Xc _ {1}^{(0)} + X^2c _ {1}^{(1)} ] \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / \hbar} \\ &+ [Xc _ {2}^{(0)} + X^2c _ {2}^{(1)} ] \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {2} \rangle . \end{aligned} \tag{4.4} \end{equation}\]

Agrupar os termos que possuem a potência \(X\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{d [Xc _ {2}^{(1)} ]}{dt} &= [Xc _ {1}^{(0)} ] \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / \hbar} \\ &+ [Xc _ {2}^{(0)} ] \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {2} \rangle . \end{aligned} \tag{4.5} \end{equation}\]

Cancelar o parâmetro \(X\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} i \hbar \frac{d c _ {2}^{(1)} }{dt} &= c _ {1}^{(0)} \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / \hbar} \\ &+ c _ {2}^{(0)} \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {2} \rangle . \end{aligned} \tag{4.6} \end{equation}\]

É fácil concluir que os coeficientes de ordem \((0)\) não se modificam com o tempo, por exemplo, \(dc_2^{(0)}/dt=0\) em (4.4). Podemos, então, considerar que antes da perturbação, o estado \(1\) está ocupado, quer dizer, que \(c_1^{(0)}\) sempre será \(c_1^{(0)} = 1\), e também considerar que o estado \(2\) está vazio, ou seja, que \(c_2^{(0)}\) sempre será \(c_2^{(0)} = 0\). Nesse caso:

\[\begin{equation} \frac{d c _ {2}^{(1)} }{dt} = \frac{1}{i \hbar} \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / \hbar} . \tag{4.7} \end{equation}\]

Se a perturbação começa em \(t=0\), a solução da equação acima é:

\[\begin{equation} c _ {2}^{(1)} (t) = \frac{1}{i \hbar} \int_0^t dt' \langle \varphi^0 _ {2} |h(t')| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t' / \hbar} . \tag{4.8} \end{equation}\]

5 Transição causada por perturbação constante

Solução de primeira ordem

Martelar o ferro na bigorna gera calor (emissão de radiação infravermelha). A batida (perturbação mecânica) dura um curto intervalo de tempo e, grosso modo, pode ser considerada constante nesse intervalo. Outro tipo de perturbação que não varia com o tempo, envolve aplicar um campo constante na matéria (elétrico ou magnético).

Vamos representar a perturbação constante escrevendo \(h(t') = V\), para \(0 < t' <t\), sendo \(V\) uma energia potencial constante. Isso facilita o manejo da equação (4.8), pois o termo perturbativo sai da integral:

\[\begin{equation} \begin{aligned} c _ {2}^{(1)} (t) &= \frac{1}{i \hbar} \langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle \int_0^t dt' e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t' / \hbar} \\ &= \frac{1}{i \hbar} \langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle \frac{1}{i (E^0 _ {2} - E^0_1) / \hbar} \left( e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / \hbar} -1 \right) \\ &= - \frac{\langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle}{E^0 _ {2} - E^0_1} \left( e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / \hbar} -1 \right) \times \frac{2i e^{-i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / 2\hbar}}{2i e^{-i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / 2\hbar}} \\ &= - \frac{\langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle}{E^0 _ {2} - E^0_1} \left( \frac{e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / 2\hbar} - e^{-i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / 2\hbar}}{2i} \right) \times \frac{2i}{e^{-i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / 2\hbar}} \\ &= - \frac{\langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle}{E^0 _ {2} - E^0_1} \times \sin \Big[ \tfrac{1}{2\hbar} (E^0 _ {2} - E^0_1) t \Big] \times 2i \times e^{i (E^0 _ {2} - E^0_1) t / 2\hbar} . \end{aligned} \tag{5.1} \end{equation}\]

Então, a probabilidade de transição causada por perturbação constante é:

\[\begin{equation} | c _ {2}^{(1)} (t) |^2 = | \langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle |^2 \times \left( \frac{\sin \Big[ \tfrac{1}{2\hbar} (E^0 _ {2} - E^0_1) t \Big]}{\tfrac{1}{2} (E^0 _ {2} - E^0_1)} \right) ^2 . \tag{5.2} \end{equation}\]

Em função do tempo, a probabilidade de ocupação do estado excitado, ou a probabilidade de estar no estado inicialmente vazio, ou a “probabilidade de alcançar o desconhecido,” é uma função senoidal oscilante. Em consequência, a probabilidade de ocupação do estado fundamental também é uma função oscilante, pois:

\[\begin{equation} |c _ {1}(t)|^2 = 1 - |c _ {2}(t)|^2 . \tag{5.3} \end{equation}\]

Vendo a Fig. 5.1, isso parece inacreditável, já que o estado de transição:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \Psi(t) &= c_1(t) \varphi^0_1 e^{-i E^0_1 t / \hbar} + c_2(t) \varphi^0_2 e^{-i E^0_2 t / \hbar} \\ &= c_1(t) \Phi _ {\rm fundamental} + c_2(t) \Phi _ {\rm excitado} , \end{aligned} \tag{5.4} \end{equation}\]

oscila entre estar no estado fundamental e estar no excitado!

Todavia, tem um significado físico acreditável: Dá a entender que, enquanto durar a perturbação, o sistema absorve e emite energia de modo cíclico:

\(\rm \nearrow excitado \searrow fundamental \nearrow excitado \searrow fundamental\).

\(\rm \nearrow absorve \hspace{0.2 cm} \searrow emite \hspace{2.1 cm} \nearrow absorve \hspace{0.3 cm} \searrow emite\).

Uma imagem mental apropriada seria a de uma “metralhadora de fótons” que carrega e atira sem parar, ou enquanto durar o “carregador” (perturbação).

Figura 5.1: Probabilidade de ocupação do estado excitado (linha sólida) e do fundamental (linha tracejada), de um sistema de dois níveis, submetido a uma perturbação constante.

A função seno tem máximo em \(\pi/2\).

O máximo da função (5.2) ocorre em:

\[\begin{equation} \tfrac{1}{2\hbar} (E^0 _ {2} - E^0_1) t = \frac{\pi}{2} . \tag{5.5} \end{equation}\]

E o tempo de probabilidade de transição máxima é:

\[\begin{equation} t _ {\rm max} = \frac{\pi \hbar}{E^0 _ {2} - E^0_1} . \tag{5.6} \end{equation}\]

Nesse tempo:

\[\begin{equation} | c _ {2}^{(1)} (t _ {\rm max} ) |^2 = | \langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle |^2 \times \frac{4}{(E^0 _ {2} - E^0_1)^2} . \tag{5.7} \end{equation}\]

No outro extremo:

\[\begin{equation} | c _ {2}^{(1)} (2t _ {\rm max} ) |^2 = 0 . \tag{5.8} \end{equation}\]

Solução exata

As equações diferenciais acopladas (3.16) e (3.19) podem ser resolvidas sem aproximação, desse modo, é possível encontrar uma expressão exata para a probabilidade de transição causada por perturbação constante.

Damos início modificando a notação por uma mais simples:

\[\begin{equation} \dot{c} = \frac{dc}{dt} ; \tag{5.9} \end{equation}\]

e:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle &= \hbar v ,\\ \langle \varphi^0 _ {2} |V| \varphi^0 _ {2} \rangle &= 0 ,\\ \langle \varphi^0 _ {1} |V| \varphi^0 _ {2} \rangle &= \hbar v^{ * } ,\\ \langle \varphi^0 _ {1} |V| \varphi^0 _ {1} \rangle &= 0 . \end{aligned} \tag{5.10} \end{equation}\]

Com isso, as equações acima citadas se tormam:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \dot{c _ 2} &= -i v c _ 1 e^{i\omega _ {21}t} ,\\ \dot{c _ 1} &= -i v^ { * } c _ 2 e^{-i\omega _ {21}t} . \end{aligned} \tag{5.11} \end{equation}\]

As derivadas resultam em:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{c _ 2} &= -i v \dot{c _ 1} e^{i\omega _ {21}t} + \omega _ {21} v c _ 1 e^{i\omega _ {21}t} ,\\ \ddot{c _ 1} &= -i v^ { * } \dot{c _ 2} e^{-i\omega _ {21}t} - \omega _ {21} v^ { * } c _ 2 e^{-i\omega _ {21}t} . \end{aligned} \tag{5.12} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{c _ 2} &= - |v|^2 c _ 2 + i\omega _ {21} \dot{c _ 2} ,\\ \ddot{c _ 1} &= - |v|^2 c _ 1 - i\omega _ {21} \dot{c _ 1} . \end{aligned} \tag{5.13} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \ddot{c _ 2} - i\omega _ {21} \dot{c _ 2} + |v|^2 c _ 2 &= 0 ,\\ \ddot{c _ 1} + i\omega _ {21} \dot{c _ 1} + |v|^2 c _ 1 &= 0 . \end{aligned} \tag{5.14} \end{equation}\]

O objetivo agora é resolver a equação diferencial referente ao caso excitado, para poder comparar com o resultado do caso excitado de primeira ordem [equação (5.2), copiada logo abaixo com nova notação]:

Primeiro, assume-se que a solução da primeira equação (5.14) é do tipo:

\[\begin{equation} c _ 2 (t) = e^{i\Omega t} . \tag{5.16} \end{equation}\]

É fácil verificar que essa solução gera a seguinte equação de segundo grau:

\[\begin{equation} \Omega ^2 - \omega _ {21} \Omega - |v|^2 = 0 , \tag{5.17} \end{equation}\]

com resolução:

\[\begin{equation} \Omega = \frac{ \omega _ {21} \pm \sqrt{\omega _ {21}^2 + 4|v|^2 } }{2} = \frac{ \omega _ {21} \pm \Omega _ 0 }{2} , \tag{5.18} \end{equation}\]

chamando:

\[\begin{equation} \Omega _ 0 = \sqrt{\omega _ {21}^2 + 4|v|^2 } . \tag{5.19} \end{equation}\]

Conclui-se que (5.16) carrega dois termos:

\[\begin{equation} c _ 2 (t) = e^{i\omega _ {21}t/2} \Big[ Ae^{i\Omega _ 0 t/2} + Be^{-i\Omega _ 0 t/2} \Big] , \tag{5.20} \end{equation}\]

As condições iniciais são: Em \(t=0\), o estado fundamental está ocupado e o excitado está vazio, quer dizer, \(c_1(0)=1\) e \(c_2(0)=0\).

Substituindo a condição inicial do estado excitado em (5.20), observa-se que \(B = -A\), sendo assim:

\[\begin{equation} \begin{aligned} c _ 2 (t) &= A e^{i\omega _ {21}t/2} \Big[ e^{i\Omega _ 0 t/2} - e^{-i\Omega _ 0 t/2} \Big] \\ &= A e^{i\omega _ {21}t/2} \times \sin{(\Omega _ 0 t/2)} \times 2i. \end{aligned} \tag{5.21} \end{equation}\]

Para determinar \(A\), nota-se que \(\dot{c_2}(0) = A\Omega_0 i\), ademais, segundo a equação (5.11), \(\dot{c_2}(0) = -i v c_1(0)\), portanto:

\[\begin{equation} A = - \frac{v}{\Omega _ 0} . \tag{5.22} \end{equation}\]

Por fim:

\[\begin{equation} c _ 2 (t) = - \frac{v}{\Omega _ 0} e^{i\omega _ {21}t/2} \times \sin{(\Omega _ 0 t/2)} \times 2i. \tag{5.23} \end{equation}\]

O que resulta em:

Conclui-se que o resultado de primeira ordem (5.15) e o exato (5.24) possuem a mesma estrutura. Só diferem na expressão da frequência de oscilação entre estado excitado populado e estado excitado depopulado. Ademais, se o efeito da perturbação for pequeno, pode ocorrer \(\Omega_0 \approx \omega_{21}\), conforme sugere (5.19).

Nota: Pode-se repetir o procedimento para se obter \(|c_1(t)|^2\), todavia, é mais conveniente usar o fato que \(|c_1(t)|^2 = 1 - |c_2(t)|^2\).

6 Transição causada por perturbação periódica

A probabilidade de transição de um sistema de 2 níveis na presença de um campo elétrico que oscila harmonicamente com frequência angular \(\omega\), será determinada. Um elétron com vetor de posição \(\vec{r}\) em relação ao núcleo atômico, e carga \(q=-e\), será considerado. Um vetor de dipolo elétrico \(\vec{p}=q\vec{r}=-e\vec{r}\), fará parte da interação elétron/campo. Essa interação produz energia \(h(t)=-\vec{E}(t) \cdot \vec{p}\); o sinal de menos faz parte da fórmula.

O campo está na direção do vetor de polarização \(\vec{\epsilon}\) (um vetor unitário):

\[\begin{equation} \vec{E}(t) = \vec{\epsilon} E _ 0 \cos (\omega t) . \tag{6.1} \end{equation}\]

Então, a energia que perturba o sistema é:

\[\begin{equation} h(t) = (\vec{\epsilon} \cdot \vec{r}) e E _ 0 \cos (\omega t) . \tag{6.2} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} h(t) = h_0 \left( e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} \right) ; \tag{6.3} \end{equation}\]

chamando \(h_0 =\tfrac{1}{2} (\vec{\epsilon} \cdot \vec{r}) e E_0\).

Com restrições

O problema será resolvido com a equação (3.16) e duas restrições: (1) o coeficiente do estado fundamental permanerá próximo de \(1\); (2) o coeficiente do estado excitado não se afastará muito de \(0\); durante a atuação da perturbação.

Vamos, então, fazer \(c_1(t)=1\) e \(c_2(t)=0\) do lado direito da equação (3.16):

\[\begin{equation} \dot{c} _ {2} (t) = \frac{1}{i \hbar} \langle \varphi^0 _ {2} |h(t)| \varphi^0 _ {1} \rangle e^{i \omega _ {21} t} . \tag{6.4} \end{equation}\]

Agora, substituir a perturbação (6.3) na equação acima:

\[\begin{equation} \begin{aligned} c _ {2} (t) &= \frac{1}{i \hbar} \langle \varphi^0 _ {2} |h_0| \varphi^0 _ {1} \rangle \int _ 0^t dt' \left( e^{i\omega t'} + e^{-i\omega t'} \right) e^{i \omega _ {21} t'} \\ &= \frac{1}{i \hbar} \langle \varphi^0 _ {2} |h_0| \varphi^0 _ {1} \rangle \left( \frac{e^{i(\omega _ {21} + \omega)t} - 1}{i(\omega _ {21} + \omega)} + \frac{e^{i(\omega _ {21} - \omega)t} - 1}{i(\omega _ {21} - \omega)} \right) . \end{aligned} \tag{6.5} \end{equation}\]

Vamos trabalhar o primeiro termo do parênteses:

\[\begin{equation} \begin{aligned} {\rm T1} &= \frac{e^{i(\omega _ {21} + \omega)t} - 1}{i(\omega _ {21} + \omega)} \times \frac{2 e^{-i(\omega _ {21} + \omega)t/2}}{2 e^{-i(\omega _ {21} + \omega)t/2}} \\ &= \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} + \omega)t} \Big]} {(\omega _ {21} + \omega)} \times \frac{2} {e^{-i(\omega _ {21} + \omega)t/2}} \\ &= \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} + \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} + \omega)} \times e^{i(\omega _ {21} + \omega)t/2} . \end{aligned} \tag{6.6} \end{equation}\]

Analogamente, o segundo termo do parênteses é:

\[\begin{equation} {\rm T2} = \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)} \times e^{i(\omega _ {21} - \omega)t/2} . \tag{6.7} \end{equation}\]

Com a releitura:

\[\begin{equation} c _ {2} (t) = -i v _ 0 \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} + \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} + \omega)} e^{i(\omega _ {21} + \omega)t/2} \\ + \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)} e^{i(\omega _ {21} - \omega)t/2} \right) ; \tag{6.8} \end{equation}\]

chamando:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \hbar v _ 0 &= \langle \varphi^0 _ {2} |h_0| \varphi^0 _ {1} \rangle \\ &= \langle \varphi^0 _ {2} |\tfrac{1}{2}(\vec{\epsilon} \cdot \vec{r}) e E _ 0| \varphi^0 _ {1} \rangle \\ &= \tfrac{1}{2} e E _ 0 \langle \varphi^0 _ {2} |(\vec{\epsilon} \cdot \vec{r})| \varphi^0 _ {1} \rangle \\ &= \tfrac{1}{2} e E _ 0 \cos \theta \langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle ; \end{aligned} \tag{6.9} \end{equation}\]

onde \(\theta\) é o ângulo entre o vetor de polarização e vetor de posição do elétron; o que implica em:

\[\begin{equation} |v _ 0|^2 = \frac{e^2 [E _ 0]^2 [\cos \theta]^2 }{4 \hbar ^2} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 ; \tag{6.10} \end{equation}\]

onde \(\langle\varphi^0_{2}|\vec{r}|\varphi^0_{1}\rangle\) é o raio de trasição.

Em (6.8), a frequência da transição \((\omega _ {21})\) tem valor fixo. A varredura pode ser feita na frequência do campo \((\omega)\). Quando \(\omega \to \omega _ {21}\), ocorre um pico acentuado no termo T2, fazendo o termo T1 ser despresível. Nesse caso:

\[\begin{equation} c _ {2} (t) = -i v _ 0 \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)} e^{i(\omega _ {21} - \omega)t/2} \right) . \tag{6.11} \end{equation}\]

O que resulta em:

Essa equação não é estranha! Sua estrutura já apareceu outras vezes no texto: ver (5.15) e (5.24). A novidade é que a oscilação entre estado excitado populado e estado excitado depopulado se dá em função da frequência do campo elétrico aplicado (gerado por um laser, por exemplo).

É importante endender o significado prático da equação (6.12). Ela mostra que para um corpo absorver luz monocromática, a frequência de excitação \((\omega)\) deve estar bem próxima da frequência de transição \((\omega_{21})\). Caso isso não ocorra, a ocupação do estado excitado será ineficiente, pois a probabilidade de transição será quase zero. Por outro lado, se a frequência de excitação for bem próxima da frequência de transição, a ocupação do estado excitado será fortemente favorecida pelo fato da probabilidade de transição, com o tempo fixo, apresentar um pico ao redor de \(\omega = \omega_{21}\).

Figura 6.1: Probabilidade de ocupação do estado excitado, de um sistema de dois níveis, submetido a uma perturbação periódica.

Sem restrições

Agora vamos resolver as equações acopladas (3.16) e (3.19), como fizemos na Seção 5 (solução exata). Visto que as passagnes são as mesmas, basta fazer algumas adaptações.

A principal alteração se dá no elemento da matriz de transição:

\[\begin{equation} \small \langle \varphi^0 _ {2} |h (t)| \varphi^0 _ {1} \rangle = \langle \varphi^0 _ {2} |h _ 0 \left( e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} \right) | \varphi^0 _ {1} \rangle = \langle \varphi^0 _ {2} |h _ 0| \varphi^0 _ {1} \rangle \left( e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} \right) . \tag{6.13} \end{equation}\]

Chamando:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle \varphi^0 _ {2} |h _ 0| \varphi^0 _ {1} \rangle &= \hbar v ,\\ \langle \varphi^0 _ {1} |h _ 0| \varphi^0 _ {2} \rangle &= \hbar v^{ * } , \end{aligned} \tag{6.14} \end{equation}\]

obtém-se:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle \varphi^0 _ {2} |h (t)| \varphi^0 _ {1} \rangle &= \hbar v \left( e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} \right) ,\\ \langle \varphi^0 _ {1} |h (t)| \varphi^0 _ {2} \rangle &= \langle \varphi^0 _ {2} |h (t)| \varphi^0 _ {1} \rangle ^{ * } = \hbar v^{ * } \left( e^{-i\omega t} + e^{i\omega t} \right) . \end{aligned} \tag{6.15} \end{equation}\]

Assim, a primeira equação (5.11) se torna:

\[\begin{equation} \dot{c _ 2} = -i v \left( e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} \right) c _ 1 e^{i\omega _ {21}t} .\\ \tag{6.16} \end{equation}\]

O que implica em:

\[\begin{equation} c _ 1 = \frac{\dot{c _ 2}}{-i v e^{i(\omega _ {21} + \omega)t} -i v e^{i(\omega _ {21} - \omega)t} } . \tag{6.17} \end{equation}\]

Analisando o denominador, percebe-se que o coeficiente \(c_1\) é dominado pelo termo \(e^{i(\omega _ {21} - \omega)t}\) (o outro termo pode ser desprezado). Isso equivale a perturbar o sistema com o potencial periódico \(h(t)=h_0 e^{-i\omega t}\), com \(h_0=(\vec{\epsilon} \cdot \vec{r}) e E_0\).

Vamos, então, trabalhar com o novo potencial na matriz de transição:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \langle \varphi^0 _ {2} |h (t)| \varphi^0 _ {1} \rangle &= \hbar v e^{-i\omega t} ,\\ \langle \varphi^0 _ {1} |h (t)| \varphi^0 _ {2} \rangle &= \hbar v^{ * } e^{i\omega t} . \end{aligned} \tag{6.18} \end{equation}\]

A continuação é um trabalho puramente matemático. Porém, analisando as passagens da Seção 5 (solução exata), fica claro que deve-se ajustar (5.23), trocando \((\omega_{21})\) por \((\omega_{21} - \omega)\):

\[\begin{equation} c _ 2 (t) = - \frac{v}{ \Omega _ 0} e^{i (\omega _ {21} -\omega) t/2} \times \sin{(\Omega _ 0 t/2) } \times 2i , \tag{6.19} \end{equation}\]

com:

\[\begin{equation} \Omega _ 0 = \sqrt{(\omega _ {21} - \omega)^2 + 4|v|^2 } . \tag{6.20} \end{equation}\]

O que resulta em:

Atenção: O \(\Omega _ {0}\) dessa seção e o \(\Omega _ {0}\) da Seção 5 são diferentes: veja (5.19).

Neste ponto, podemos estudar um caso especial: Considerar a frequência da perturbação exatamente igual à frequência de transição \((\omega = \omega_{21})\). Nesse caso, a probabilidade de transição se torna:

\[\begin{equation} |c _ {2}(t)|^2 = \sin^2 \left( t \sqrt{|v|^2} \right) . \tag{6.22} \end{equation}\]

Isso mostra que, enquanto durar a perturbação, o sistema absorve e emite energia de modo cíclico.

Nota: Considerar \((\omega = \omega_{21})\) no resultado “com restrições,” equação (6.12), leva a outra conclusão! A oscilação de \(|c _ {2}(t)|^2\) desaparece. É como se a “metralhadora de fótons” deixasse de existir! Isso porque usar “restrições” simplifica o problema e limita o resultado (equivale a trabalhar com aproximação de primeira ordem).

7 Transição causada por fonte contínua

Um laser produz radiação eletromagnética com frequência bem definida. Outras fontes, como um filamento incandescente, produzem uma sucessão contínua de frequências.

A probabilidade de transição causada por fonte contínua é determinada somando-se a probabilidades de transição de cada frequência.

O ponto de partida é a equação (6.12):

\[\begin{equation} \small |c _ {2} (t)|^2 = \frac{e^2 [E _ 0]^2 [\cos \theta]^2}{4 \hbar ^2} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)} \right) ^2 . \tag{7.1} \end{equation}\]

Como a fonte contínua possui uma sucessão de frequências \(\omega _ i\), essa equação pode ser adaptada para cada modo de vibração eletromagnético:

\[\begin{equation} \small |c _ {2} (t)|^2 _ {({\rm modo}\ i)} = \frac{e^2 [E _ 0 (\omega _ i)]^2 [\cos \theta]^2}{4 \hbar ^2} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega _ i)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega _ i)} \right) ^2 . \tag{7.2} \end{equation}\]

A relação entre a densidade de energia e a amplitude do campo elétrico é:

\[\begin{equation} \small U(\omega _ i) = \tfrac{1}{2} \epsilon _ 0 [E _ 0 (\omega _ i)]^2 . \tag{7.3} \end{equation}\]

\(\epsilon_0\) é a permissividade do vácuo \(\rm [C^2J^{-1}m^{-1}]\).

A substituir a equação acima na anterior:

\[\begin{equation} \small |c _ {2} (t)|^2 _ {({\rm modo}\ i)} = \frac{e^2 [\frac{2 U(\omega _ i)}{\epsilon _ 0}] [\cos \theta]^2}{4 \hbar ^2} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega _ i)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega _ i)} \right) ^2 . \tag{7.4} \end{equation}\]

Deve-se realizar a somatória para determinar a probabilidade de transição total:

\[\begin{equation} \small \sum _ i |c _ {2} (t)|^2 _ {({\rm modo}\ i)} = \sum _ i U(\omega _ i) \frac{e^2 [\cos \theta]^2}{2 \hbar ^2 \epsilon _ 0} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega _ i)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega _ i)} \right) ^2 . \tag{7.5} \end{equation}\]

A chamar a probabilidade de transição total de \(P_2(t)\) e transformar a somatória em integral:

\[\begin{equation} \small P _ 2 (t) = \frac{1}{d\omega} \int d\omega\ U(\omega) \frac{e^2 [\cos \theta]^2}{2 \hbar ^2 \epsilon _ 0} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)} \right) ^2 . \tag{7.6} \end{equation}\]

A relação entre a densidade de energia e a densidade espectral de energia é:

\[\begin{equation} \small U(\omega) = u(\omega) d\omega . \tag{7.7} \end{equation}\]

A substituir a equação acima na anterior:

\[\begin{equation} \small P _ 2 (t) = \int d\omega\ u(\omega) \frac{e^2 [\cos \theta]^2}{2 \hbar ^2 \epsilon _ 0} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)} \right) ^2 . \tag{7.8} \end{equation}\]

Essa integral pode ser simplificada usando a aproximação \(u(\omega) \approx u(\omega_{21})\), pois o campo quase não se modifica ao redor do pico da Fig. 6.1:

\[\begin{equation} \small P _ 2 (t) = u(\omega _ {21} ) \frac{e^2 [\cos \theta]^2}{2 \hbar ^2 \epsilon _ 0} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \int d\omega\ \left( \frac{\sin{\Big[ \tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)t} \Big]} {\tfrac{1}{2} (\omega _ {21} - \omega)} \right) ^2 . \tag{7.9} \end{equation}\]

O valor da última integral é \(2 \pi t\):

\[\begin{equation} P _ 2 (t) = u(\omega _ {21} ) \frac{e^2 [\cos \theta]^2}{2 \hbar ^2 \epsilon _ 0} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \times 2 \pi t . \tag{7.10} \end{equation}\]

Esse resultado ainda pode levar em conta todos ângulos entre o vetor de polarização e o vetor posição, lembrando que \(\overline{ [\cos \theta]^2} = 1/3\):

\[\begin{equation} P _ 2 (t) = \frac{\pi e^2}{3 \hbar ^2 \epsilon _ 0} \times u(\omega _ {21}) \times |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 \times t . \tag{7.11} \end{equation}\]

A taxa de transição, que será representada por \(W\), é a probabilidade de transição por unidade de tempo. É determinada fazendo a derivada da probabilidade de transição no tempo. No caso da equação acima, a taxa de transição total é:

\[\begin{equation} W _ 2 = \frac{\pi e^2}{3 \hbar ^2 \epsilon _ 0} \times u(\omega _ {21}) \times |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2 . \tag{7.12} \end{equation}\]

Não há necessidade de repetir o procedimento para resolver o caso da transição que inicia no estado excitado e termina no fundamental, pois, a taxa de ocupação do estado excitado (em uma experiência de absorção estimulada por campo) é igual a taxa de ocupação do estado fundamental (em uma experiência de emissão estimulada por campo), ou seja: \(W_2=W_1\).

Agora vamos voltar a falar sobre os coeficientes da Seção 2.

O coeficiente de Einstein de absorção (ou emissão) estimulada se escreve:

\[\begin{equation} \begin{aligned} B &= \frac{W _ 2}{u(\omega _ {21})} \\ &= \frac{\pi e^2}{3 \hbar ^2 \epsilon _ 0} \times |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2 . \end{aligned} \tag{7.13} \end{equation}\]

Então, utilizando a relação (2.7), o coeficiente de Einstein de emissão espontânea é:

\[\begin{equation} \begin{aligned} A &= \frac{\hbar \omega _ {21}^3}{\pi^2 c^3} \times B \\ &= \frac{\hbar \omega _ {21}^3 }{\pi^2 c^3} \times \frac{\pi e^2}{3 \hbar ^2 \epsilon _ 0} \times |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2 \\ &= \frac{e^2 \omega _ {21}^3}{3 \pi c^3 \hbar \epsilon _ 0} \times |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2 . \end{aligned} \tag{7.14} \end{equation}\]

Nota: O coeficiente \(A\) é equivalente à taxa de transição de emissão espontânea; com unidade \(\rm s^{-1}\).

Agora os coeficientes de Einstein estão vinculados ao interior do átomo, por meio do termo puramente quântico \(|\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^ 2\).

Segundo (2.12), a duração da transição espontânea é:

\[\begin{equation} t _ A = \frac{3 \pi c^3 \hbar \epsilon _ 0}{e^2 \omega _ {21}^3} \times \frac{1}{|\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2} . \tag{7.15} \end{equation}\]

Isso quer dizer que o estado excitado permanece “vivo” por \(t_A\) (segundos), antes de ficar totalmente depopulado por emissão espontânea.

Segundo (2.16), ou segundo \([\) Eq. (7.12) \(]^{-1}\), a duração da transição estimulada é:

\[\begin{equation} t _ B = \frac{3 \hbar ^2 \epsilon _ 0}{\pi e^2} \times \frac{1}{|\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2} \times \frac{1}{u(\omega _ {21})} . \tag{7.16} \end{equation}\]

Isso quer dizer que o estado excitado permanece “vivo” por \(t_B\) (segundos), antes de ficar totalmente depopulado por emissão estimulada; ou, que o estado fundamental permanece “vivo” por \(t_B\) (segundos), antes de ficar totalmente depopulado por absorção estimulada.

A relação entre os tempos acima é:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \frac{ t _ B }{ t _ A } &= \frac{\hbar \omega _ {21}^3}{\pi^2 c^3} \times \frac{1}{u(\omega _ {21})} \\ &= \frac{A}{B} \times \frac{1}{u(\omega _ {21})} . \end{aligned} \tag{7.17} \end{equation}\]

8 Transições no átomo de hidrogênio

O átomo mais simples que existe na natureza é o átomo de hidrogênio, formado com 1-elétron orbitando em torno de 1-próton (núcleo). Se for definido o nível de energia do estado fundamental (\(n=1\)) como sendo o nível zero, o primeiro estado excitado (\(n=2\)) está no nível \(\rm 10.2\ eV\). Nesse caso, a frequência da transição \(_{(1 \to 2)}\) é:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \omega _ {21} &= \frac{\rm 10.2\ eV}{\hbar} \\ &= \frac{\rm 10.2\ eV}{\rm 6.5821 \times 10^{-16}\ eV s} \\ &= 15497 \times 10^{12}\ {\rm s^{-1}} . \end{aligned} \tag{8.1} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} \begin{aligned} f _ {21} &= \frac{\omega _ {21}}{2 \pi} \\ &= 2466 \times 10^{12}\ {\rm Hz} . \end{aligned} \tag{8.2} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \lambda _ {21} &= \frac{c}{f _ {21} } \\ &= 121.6 \times 10^{-9}\ {\rm m} . \end{aligned} \tag{8.3} \end{equation}\]

Comparando com a frequência óptica \(f_{\rm violeta} = 800 \times 10^{12}\ {\rm Hz}\), a transição \(_{(1 \to 2)}\) do átomo de hidrogênio ocorre na região do ultravioleta (invisível aos olhos humanos).

O primeiro estado excitado do átomo de hidrogênio, capaz de fazer transição com o estado fundamental, é degenerado em energia (como dito, está \(\rm 10.2\ eV\) acima do fundamental). É constituído dos orbitais \({\rm 2p_x}\), \({\rm 2p_y}\) e \({\rm 2p_z}\).

A soma das funções de onda \(\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{21-1} - \psi_{211})\) é o orbital:

\[\begin{equation} {\rm 2p_x} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}} \left( \frac{Z}{a} \right)^{\frac{5}{2}} r e^{-Zr/2a} \sin{\theta} \cos{\phi} . \tag{8.4} \end{equation}\]

A soma das funções de onda \(\frac{i}{\sqrt{2}}(\psi_{21-1} + \psi_{211})\) é o orbital:

\[\begin{equation} {\rm 2p_y} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}} \left( \frac{Z}{a} \right)^{\frac{5}{2}} r e^{-Zr/2a} \sin{\theta} \sin{\phi} . \tag{8.5} \end{equation}\]

Onde:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \psi _ {211} &= -\frac{1}{\sqrt{64\pi}} \left( \frac{Z}{a} \right)^{\frac{5}{2}} r e^{-Zr/2a} \sin{\theta} e^{i\phi} ,\\ \psi _ {21-1} &= \frac{1}{\sqrt{64\pi}} \left( \frac{Z}{a} \right)^{\frac{5}{2}} r e^{-Zr/2a} \sin{\theta}e^{-i\phi} . \end{aligned} \tag{8.6} \end{equation}\]

De outra formação, o orbital \({\rm 2p_z}\) não é fruto de superposição, é a própria função de onda \(\psi_{210}\):

\[\begin{equation} {\rm 2p_z} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}} \left( \frac{Z}{a} \right)^{\frac{5}{2}} r e^{-Zr/2a} \cos{\theta} . \tag{8.7} \end{equation}\]

Por fim, o estado fundamental do átomo de hidrogênio é simplesmente:

\[\begin{equation} {\rm 1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{Z}{a} \right)^{\frac{3}{2}} e^{-Zr/a} . \tag{8.8} \end{equation}\]

Nas fórmulas, o número \(Z\) é o número atômico, no caso do hidrogênio, \(Z=1\); e a constante \(a\) é o raio de Bohr: \(a = 0.53 \times 10^{-10}\ {\rm m}\).

Figura 8.1: Orbitais \({\rm 1s}\) e \({\rm 2p_z}\) (3 isosuperfícies).

A Fig. 8.1 apresenta os orbitais \({\rm 1s}\) e \({\rm 2p_z}\) do átomo de hidrogênio. Como se vê, o estado fundamental tem aparência de esfera, e o excitado, de halteres de academia. Isso quer dizer que na transição \(_{(2 \to 1)}\), por exemplo, o elétron passa por um processo de reorganização espacial, partindo da forma de halteres e terminando na forma de esfera. Isso leva tempo! As fórmulas (7.15) e (7.16) revelam que os tempos envolvidos são \(t_A\) e \(t_B\), respectivamente. Podemos calcular esses tempos, mas para isso, precisamos calcular:

\[\begin{equation} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2 = |\langle {\rm 2p_x + 2p_y + 2p_z} |\vec{r}| {\rm 1s} \rangle|^2 . \tag{8.9} \end{equation}\]

O trabalho é puramente matemático, envolve resolver integrias. Entretanto, está descrito com muitos pormenores no livro Introductory Quantum Mechanics, do Prof. Richard Fitzpatrick, hospedado na biblioteca LibreTexts, do projeto de livros didáticos de acesso aberto. O resultado é:

\[\begin{equation} |\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2 = \frac{ 2^{15} }{ 3^{10} } a^2 = 1.5542 \times 10^{-21}\ {\rm m^2} . \tag{8.10} \end{equation}\]

Vamos, então, determinar a duração da emissão espontânea \(_{(2 \to 1)}\):

\[\begin{equation} \small \begin{aligned} t _ A &= \frac{3 \pi c^3 \hbar \epsilon _ 0}{e^2 \omega _ {21}^3} \times \frac{1}{|\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2} \\ &= \frac{3 \pi (3 \times 10^{8})^3 (1.0546 \times 10^{-34}) (8.8542 \times 10^{-12})} {(1.6 \times 10^{-19})^2 (15497 \times 10^{12})^3} \times \frac{1}{1.5542 \times 10^{-21}} \\ &= 1.5954 \times 10^{-9}\ {\rm s} . \end{aligned} \tag{8.11} \end{equation}\]

O tempo de absorção \(_{(2 \gets 1)}\) é igual ao tempo de emissão estimulada \(_{(2 \to 1)}\) entretanto, dependem da temperatura através da densidade espectral de energia (2.1):

\[\begin{equation} \small \begin{aligned} t _ B &= \frac{3 \hbar ^2 \epsilon _ 0}{\pi e^2} \times \frac{1}{|\langle \varphi^0 _ {2} |\vec{r}| \varphi^0 _ {1} \rangle|^2} \times \frac{1}{u(\omega _ {21}, T)} \\ &= \frac{3 (1.0546 \times 10^{-34})^2 (8.8542 \times 10^{-12})}{\pi (1.6 \times 10^{-19})^2} \times \frac{1}{1.5542 \times 10^{-21}} \times \frac{1}{u(\omega _ {21}, T)} \\ &= 2.3570 \times 10^{-21} \times \frac{1}{u(\omega _ {21}, T)} . \end{aligned} \tag{8.12} \end{equation}\]

A listagem abaixo apresenta \(t_B\) para vários valores de temperatura:

\[\begin{equation} \begin{aligned} t _ B {\small \rm (1\,000\ K)} &= 4.24 \times 10^{42} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (5\,000\ K)} &= 30.7 \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (10\,000\ K)} &= 2.22 \times 10^{-4} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (15\,000\ K)} &= 4.28 \times 10^{-6} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (20\,000\ K)} &= 5.93 \times 10^{-7} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (25\,000\ K)} &= 1.80 \times 10^{-7} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (30\,000\ K)} &= 8.10 \times 10^{-8} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (35\,000\ K)} &= 4.54 \times 10^{-8} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (40\,000\ K)} &= 2.92 \times 10^{-8} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (45\,000\ K)} &= 2.06 \times 10^{-8} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (50\,000\ K)} &= 1.54 \times 10^{-8} \ {\rm s} \\ t _ B {\small \rm (100\,000\ K)} &= 3.62 \times 10^{-9} \ {\rm s} \end{aligned} \tag{8.13} \end{equation}\]

Em \(1000\) \(\rm K\), pode-se dizer que não há transição estimulada por campo. Em \(5000\) \(\rm K\), o tempo ainda é alto, meio minuto. Acima de \(10\) mil \(\rm K\), a transição estimulada começa a competir com a espontânea. Porém, somente em \(100\) mil \(\rm K\), os valores se equilibram na casa dos \(10^{-9}\) segundos.

Dava por encerrada a seção, quando surgiu uma dúvida: Se a frequência do campo está próxima da frequência de transição (em todos os casos), por que nos primeiros casos o tempo da transição foi tão grande? E por que nos últimos casos foi tão pequeno?

Achei que as fórmulas (7.3) e (7.7) poderiam responder essa questão: A amplitude do campo elétrico depende da temperatura por meio da densidade espectral de energia:

\[\begin{equation} \tfrac{1}{2} \epsilon _ 0 E _ 0^2 = \int u(\omega,T) d\omega . \tag{8.14} \end{equation}\]

A utilizar a lei de Planck, equação (2.1), a integral foi numericamente calculada para as diversas temperaturas. Em seguida, determinou-se o campo elétrico \((\rm N/C)\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} E _ 0 {\small \rm (1 \, 000\ K)} &= 13 \, 073 \\ E _ 0 {\small \rm (5 \, 000\ K)} &= 326 \, 828 \\ E _ 0 {\small \rm (10 \, 000\ K)} &= 1 \, 307 \, 311 \\ E _ 0 {\small \rm (15 \, 000\ K)} &= 2 \, 941 \, 448 \\ E _ 0 {\small \rm (20 \, 000\ K)} &= 5 \, 229 \, 243 \\ E _ 0 {\small \rm (25 \, 000\ K)} &= 8 \, 170 \, 691 \\ E _ 0 {\small \rm (30 \, 000\ K)} &= 11 \, 765 \, 795 \\ E _ 0 {\small \rm (35 \, 000\ K)} &= 16 \, 014 \, 555 \\ E _ 0 {\small \rm (40 \, 000\ K)} &= 20 \, 916 \, 971 \\ E _ 0 {\small \rm (45 \, 000\ K)} &= 26 \, 473 \, 040 \\ E _ 0 {\small \rm (50 \, 000\ K)} &= 32 \, 682 \, 766 \\ E _ 0 {\small \rm (100 \, 000\ K)} &= 130 \, 731 \, 057 \end{aligned} \tag{8.15} \end{equation}\]

A conexão entre (8.13) e (8.15) é perfeita! – pensei.

A ocorrer transição estimulada por campo, não basta a frequência do campo estar próxima da frequência de transição, mas também é necessário que a amplitude do campo seja “forte” o suficiente para produzir um “chacoalhão” no estado do elétron. Se a amplitude for muito pequena, mesmo a frequência estando certa, não haverá mudança de estado, pois o tempo de transição parece se tornar “infinito” comparado com a vida de um ser humano. Por outro lado, se a amplitude for grande o suficiente para tirar o elétron de seu estado de conforto, após um curto intervalo de tempo, haverá mudança de estado.

Figura 8.2: Campo elétrico em função da temperatura.

9 Transições no poço infinito

O poço retangular infinito, unidimensional, de largura \(L\), com um elétron de massa \(m_e\) confinado, possui funções de onda e energias dadas por:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \varphi^0 _ {n} = | {n} \rangle &= \sqrt{ \frac{2}{L} } \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \\ E _ n &= \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2 m _ e L^2} \\ n &= 1\ , 2\ ,3\, \dots \end{aligned} \tag{9.1} \end{equation}\]

Vamos usá-lo como exemplo para o estudo da transição estimulada e da espontânea.

Características do poço

A largura do poço é \(L =\) \(100\) Å.

A energia do estado fundamental é \(E_1 =\) \(3.76\) \(\rm meV\).

A energia do primeiro estado excitado é \(E_2 =\) \(15.04\) \(\rm meV\).

A diferença entre as energias energia é \((E_2 - E_1) =\) \(11.28\) \(\rm meV\).

A frequência de transição é \(\omega_{21} =\) \(1.71\times 10^{13}\) \(\rm s^{-1}\).

O raio de transição é \(\langle 2|x|1 \rangle=\frac{2}{L}\int_0^L \sin \left(\frac{2\pi}{L}x\right) x \sin \left(\frac{\pi}{L}x\right)dx\). Resolvendo a integral, \(\langle 2|x|1 \rangle =\) \(1.8\times 10^{-9}\) \(\rm m\).

O quadrado do raio de transição é \(|\langle 2|x|1 \rangle|^2 =\) \(3.24\times 10^{-18}\) \(\rm m^{2}\).

Características da transição estimulada

As fórmulas se encontram na Seção 7.

Vamos assumir que o elétron está inicialmente no estado fundamental (\(n=1\)) e que, no tempo \(t=0\), sofra a ação de uma perturbação periódica produzida por uma sucessão contínua de frequências. Isso faz o elétron subir para o primeiro estado excitado (\(n=2\)). Ademais, o elétron e a radiação estão em equilíbrio termodinâmico na temperatuta ambiente. Nessas condições:

O coeficiente de Einstein da transição estimulada é \(B =\) \(8.86\times 10^{23}\) \(\rm m^{3}J^{-1}s^{-2}\).

A temperatura é \(T =\) \(300\) \(\rm K\).

A densidade espectral de energia é \(u(\omega_{21},T) =\) \(3.65\times 10^{-21}\) \(\rm Jsm^{-3}\).

A taxa da transição estimulada é \(W_2 =\) \(3232.42\) \(\rm s^{-1}\).

A duração da transição estimulada é \(t_B =\) \(3.09\times 10^{-4}\) \(\rm s\).

Características da transição espontânea

As fórmulas também se encontram na Seção 7.

Podemos também considerar a situação do elétron estar inicialmente no estado excitado e, no tempo \(t=0\), de maneira voluntária, descer espontaneamente para o fundamental. Então:

A taxa da transição espontânea é \(A =\) \(1768.47\) \(\rm s^{-1}\).

A duração da transição espontânea é \(t_A =\) \(5.65\times 10^{-4}\) \(\rm s\).

A razão entre os tempos é \(\frac{t_B}{t_A} =\) \(0.55\).

10 Mini-banda de transição

Já vimos que, em função do tempo, a probabilidade de transição causada por perturbação periódica é uma função senoidal, oscilante: veja a equação (6.12), a qual tem aparência projetada na Fig. 5.1. Olhando cada ciclo, a curva tem semelhança com uma gaussiana. Então, no ciclo, pode-se aproximar a probabilidade de transição com a seguinte expressão:

\[\begin{equation} |c _ {2} (t)|^2 \approx e^{-t^2 / \tau^2} . \tag{10.1} \end{equation}\]

A equação acima pode ser modelada como uma superposição de ondas planas usando a análise de Fourier:

\[\begin{equation} e^{-t^2 / \tau^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int b(E) e^{-i\frac{E}{\hbar}t} dE . \tag{10.2} \end{equation}\]

Mudança de variável:

\[\begin{equation} \omega = \frac{E}{\hbar} \ \ \implies \ \ dE = \hbar d\omega . \tag{10.3} \end{equation}\]

\[\begin{equation} e^{-t^2 / \tau^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \hbar b(\omega) e^{-i\omega t} d\omega . \tag{10.4} \end{equation}\]

O coeficiente da superposição é:

\[\begin{equation} \hbar b(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int e^{-t^2 / \tau^2} e^{i \omega t} dt . \tag{10.5} \end{equation}\]

O que resulta em:

\[\begin{equation} \hbar b(\omega) = \frac{\tau}{\sqrt{2}} e^{-\frac{\tau^2}{4} \omega^2} . \tag{10.6} \end{equation}\]

Ou:

\[\begin{equation} b(E) = \frac{\tau}{\hbar \sqrt{2}} e^{-\frac{\tau^2}{4\hbar^2} E^2} . \tag{10.7} \end{equation}\]

O que finalmente resulta em:

\[\begin{equation} |b(E)|^2 = \frac{\tau^2}{2\hbar^2} e^{-\frac{\tau^2}{2\hbar^2} E^2} . \tag{10.8} \end{equation}\]

Partimos com uma gaussiana no espaço do tempo e terminamos com outra gaussiana no espaço da energia. Este resultado é muito importante! Ele mostra que um estado com tempo de vida finito não possui energia única, mas, sim, mini-banda de transição com energia incerta. Como estimativa, o estado perturbado se distribui pela mini-banda:

\[\begin{equation} \delta E \propto \frac{\hbar}{\tau} , \tag{10.9} \end{equation}\]

onde \(\tau\) é o tempo \(t_A\) ou \(t_B\).

As gaussianas podem ser deslocadas para se adequarem melhor ao problema. Vamos ilustrar o processo da emissão estimulada, todavia, o mesmo modelo é compatível para explicar a absorção. Para simplificar a notação, vamos “enxugar as fórmulas” e trabalhar somente com o contorno das gaussianas:

\[\begin{equation} \begin{aligned} |c(t)|^2 &\approx e^{-(t _ {B} - t)^2} ,\\ |b(E)|^2 &\approx e^{-(\Delta _ {21} - E)^2} , \end{aligned} \tag{10.10} \end{equation}\]

sendo \(\Delta_{21}=E_2-E_1\).

\(|c(t)|^2\) representa a probabilidade do estado ser populado no tempo \(t\); e \(|b(E)|^2\) representa a probabilidade do canal de energia \(E\) participar do processo.

O processo da emissão estimulada é esquenatizado nas Figs. 10.1 e 10.2. Pensando em um quadro mais realista, a perturbação produz mini-bandas nos estados fundamental e excitado. Dentro da faixa, a energia é contínua, mas o desenho mostra apenas 3 canais de transição. No início, em \(t=t_{I}\), a probabilidade do estado ser populado é pequena, e a transição ocorre pelo canal de menor energia, \(E=\Delta_{I}\). Quando se chega no tempo caracteristico da transição, \(t=t_B\), a probabilidade de transição atinge o valor máximo, e a transição é feita pelo canal de ressonância, \(E=\Delta_{21}\). Por fim, em \(t=t_{II}\), a probabilidade de transição volta a ser pequena, e a transição se dá pelo canal de maior energia, \(E=\Delta_{II}\).

Figura 10.1: Probabilidade de transição (gaussiana no espaço do tempo) e probabilidade de participação (gaussiana espaço da energia).

Figura 10.2: Canais de transição entre mini-bandas de transição.

11 Conclusão

As principais conclusão são:

As transições causadas por perturbação constante e por perturbação periódica apresentam probabilidades de transição oscilantes com o passar do tempo. Isso dá a entender que, enquanto durar as perturbações, o sistema absorve e emite energia de modo cíclico.

O estado não-perturbado possui tempo de vida infinito e energia única.

O estado perturbado possui tempo de vida finito e mini-banda de transição. Isso dá a entender que a incerteza na medição da energia de transição não pode ser eliminada por aperfeiçoamento tecnológico de equipamento de medição.

As mini-bandas de transição são responsáveis pela largura à meia altura do espectro de emissão ou absorção.