1 Introdução

O artigo 2-Massas, 2-Poços; 2-Massas, 1-Poço; 2-Elétrons, 2-Poços; 2-Elétrons, 1-Poço analisa 4 situações de 2-partículas confinadas em poços quânticos.

Este artigo analisa a situação de 1-elétron confinado em 2-poços quânticos. Na literatura, o sistema é conhecido como Double Quantum Well (DQW) — Poço Quântico Duplo. A estrutura é formada por 2-poços separados por 1-barreira delgada, o que permite o tunelamento do elétron através da barreira (Tetsuya Tada 1988). Isso significa que há probabilidade do elétron ser encontrado no primeiro e também no segundo poço do DQW.

Um método – para se determinar a energia de confinamento e a função de onda de um DQW – é o método numérico (A Keshavarz 2010).

Neste artigo – a energia de confinamento e a função de onda – serão encontradas com base em resultados de equações transcendentais (Tsuneo Kamizato 1989). A técnica consiste em cruzar equações que levam em conta condições de continuidade da função de onda nas interfaces poço/barreira — o local do cruzamento pode ser determinado por meio de um gráfico.

2 O perfil do potencial

O poço quântico duplo (DQW) é formado por 2-poços retangulares separados por 1-barreira central. Neste artigo, os poços serão considerados com potencial negativo, \(V(x)=-V_0\), e as barreiras laterais e central, com potencial igual a zero, \(V(x)=0\). A Fig. 2.1 mostra o perfil de potencial e a nomenclatura adotada para designar cada peça do DQW.

Figura 2.1: Perfil de potencial do poço quântico duplo e nomenclatura das peças.

Olhando os cortes da Fig. 2.1, nota-se que \((b,w)\) representam a largura de barreira central e largura de poço individual, respectivamente. Também, que há simetria em relação à origem das posições \((x=0)\). Por isso, esse tipo de DQW é classificado como simétrico – é classificado como assimétrico quando os poços são diferentes, por exemplo, caso não possuam larguras ou profundidades iguais (J Ram 2006).

3 As características da função de onda

O estudo se concentrará na energia de partícula menor que a altura de barreira e maior que o fundo de poço, ou seja, quando a energia do elétron estiver entre \(-V_0<E<0\).

Na região dos poços, o número de onda da peça de função de onda é real:

\[ k = \frac{1}{\hbar} \sqrt{2m(E+V_0)} , \tag{3.1} \]

e a solução da equação de Schrödinger resulta em exponencial complexa, do tipo \(e^{\pm ikx}\).

Na região das barreiras (central, barreira-1 e barreira-2), a combinação de potencial nulo com energia de partícula negativa produz número de onda imaginário:

\[ k^{\rm img} = \frac{1}{\hbar} \sqrt{2m(E-0)} , \tag{3.2} \]

sendo conveniente escrevê-lo na forma

\[ k^{\rm img} = i q, \tag{3.3} \]

onde

\[ q = \frac{1}{\hbar} \sqrt{2m(0-E)} . \tag{3.4} \]

Então, na região das barreiras, a solução da equação de Schrödinger resulta em exponencial real, do tipo \(e^{\pm qx}\).

Em (3.1) e (3.4), as grandezas \(m\) e \(\hbar\) representam a massa do elétron e a constante de Planck, nesta ordem.

Explorar a simetria do DQW 2.1 poupa trabalho na hora de determinar a função de onda global, que se estende de \(-\infty < x < \infty\), pois, é preciso se preocupar apenas com a determinação da função do lado direito do DQW, já que a função do lado esquerdo \((x<0)\) é mais ou menos igual à função do lado direito \((x>0)\):

\[ \Psi(x<0) = \pm \Psi(x>0) . \tag{3.5} \]

Na linguagem matemática, quando

\[ \Psi(x<0) = + \Psi(x>0), \tag{3.6} \]

diz-se que a função é par (seu gráfico tem simetria em relação ao eixo vertical), e quando

\[ \Psi(x<0) = - \Psi(x>0) , \tag{3.7} \]

é dito que a função é ímpar (seu gráfico tem simetria em relação à origem).

Logo, as soluções do DQW 2.1 se dividem em 2-grupos: o conjunto de funções de onda pares e o conjunto de funções de onda ímpares.

Deve-se escolher peças de função de onda com o objetivo de simplificar a manipulação matemática. O capítulo 9 do livro Confinamento e Espalhamento por Potenciais Retangulares, que trata do poço quântico simples, iniciou a análise utilizando peças complexas, todavia, após alguns passos matemáticos, transformou-se as peças complexas em peças reais (senos e cossenos). Neste artigo, vamos prontamente iniciar o estudo considerando soluções reais.

Qual solução poderá compor as peças dos poços?

Há propagação de ondas dentro dos poços, ondas que incidem e refletem na interface poço/barreira, então, poderia-se operar com uma combinação de exponenciais complexas, todavia, é mais conveniente usar uma combinação de seno e cosseno.

Qual solução poderá compor a peça da barreira central?

Não há propagação de ondas na barreira central, a solução é a soma de duas exponenciais reais: as que fariam a vez da “onda incidente” e da “onda refletida” – aqui cabe lembrar que a combinação de exponenciais reais resulta em cosseno hiperbólico ou seno hiperbólico.

Qual solução poderá compor as peças das barreiras laterais?

Também não há propagação de ondas nas barreiras laterais, a solução poderia ser do mesmo tipo da barreira central, a soma de duas exponenciais reais, todavia, as barreiras laterais se estendem até o infinito, por isso, a única exponencial que deve permanecer na solução, é aquela que tende a zero no infinito.

4 A equação da energia

Esta seção apresenta o procedimento que leva à equação capaz de fornecer os valores da energia de confinamento do elétron, uma equação cujas raizes podem ser determinadas com auxílio gráfico, denominada equação transcendental.

A notação que é utilizada para descrever as peças da função de onda global, está impressa na Fig. 2.1.

As ponderações feitas na seção [3] nos leva a concentrar o trabalho ao redor do poço-2.

Com o intuito de utilizar o padrão Latex, será utilizado sin para seno, cos para cosseno, tan para tangente, exp para exponencial, cosh para cosseno hiperbólico e sinh para seno hiperbólico.

A função de onda dentro do poço-2 é escrita como combinação de seno e cosseno:

\[ P_2 (x) = P \cos [kx] + Q \sin [kx] , \tag{4.1} \]

onde \(P\) e \(Q\) são amplitudes e \(k\) é o número de onda (3.1).

A função de onda dentro da barreira-2 tem a forma de uma exponencial que decai em função do número de onda (3.4):

\[ B_2 (x) = D \exp [-qx] . \tag{4.2} \]

A função de onda deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, iguala-se (4.1) com (4.2) no ponto \(x=b/2+w\):

\[ P \cos [k(b/2+w)] + Q \sin [k(b/2+w)] = D \exp [-q (b/2+w)] . \tag{4.3} \]

A derivada da função de onda também deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, deriva-se as Eqs. (4.1) e (4.2)

\[ \begin{align} P' _2 (x) &= -k P \sin [kx] + k Q \cos [kx] \tag{4.4},\\ B' _2 (x) &= -q D \exp [-qx] \tag{4.5}, \end{align} \]

e, depois, iguala-se os resultados das derivadas no ponto \(x=b/2+w\):

\[ -P \sin [k(b/2+w)] + Q \cos [k(b/2+w)] = -\frac{q}{k} D \exp [-q (b/2+w)] . \tag{4.6} \]

Divide-se a Eq. (4.6) pela Eq. (4.3):

\[ \frac { -P \sin [k(b/2+w)] + Q \cos [k(b/2+w)] } { P \cos [k(b/2+w)] + Q \sin [k(b/2+w)] } = -\frac{q}{k} . \tag{4.7} \]

Manipula-se a Eq. (4.7) até chegar no agrupamento dos senos e os cossenos:

\[ -Q \sin [k(b/2+w)] \left[ 1 -\frac{k}{q} \frac{P}{Q} \right] = P \cos [k(b/2+w)] \left[ 1 + \frac{k}{q} \frac{Q}{P} \right] . \tag{4.8} \]

Encerra-se a dedução utilizando a definição de tangente:

\[ \tan [k(b/2+w)] = -(P/Q) \frac{ \left[ 1 + (k/q) (Q/P) \right] } { \left[ 1 - (k/q) (P/Q) \right] } . \tag{4.9} \]

Que informação se torna pública por meio da equação transcendental (4.9)?

Disparando o gráfico da Eq. (4.9), a energia de confinamento é determinada fixando atenção no cruzamento que a curva tangente faz com a curva da expressão do lado direito.

Das variáveis da Eq. (4.9), ainda resta saber a expressão de \(P/Q\). Conforme discutido na seção [3], há uma expressão vinculada ao conjunto de funções de onda pares e outra vinculada ao conjunto de funções de onda ímpares.

5 Determinação da energia de confinamento

A determinação da energia do elétron confinado no poço quântico duplo lança mão da equação transcendental desenvolvida na seção [4] e das equações de apoio elaboradase nas seções [4.1] e [4.2]. Vamos, então, agrupá-las nesta seção.

Equações de função de onda par:

\[ \tan [k(b/2+w)] = -(P/Q) \frac{ \left[ 1 + (k/q) (Q/P) \right] } { \left[ 1 - (k/q) (P/Q) \right] } , \tag{5.1} \]

\[ P/Q = \frac { (k/q) \cosh [q (b/2)] \cos [k (b/2)] - \sinh [q (b/2)] \sin [k (b/2)] } { (k/q) \cosh [q (b/2)] \sin [k (b/2)] + \sinh [q (b/2)] \cos [k (b/2)] } . \tag{5.2} \]

Equações de função de onda ímpar:

\[ \tan [k(b/2+w)] = -( \bar{P}/\bar{Q} ) \frac{ \left[ 1 + (k/q) \bar{Q}/\bar{P} \right] } { \left[ 1 - (k/q) \bar{P}/\bar{Q} \right] } , \tag{5.3} \]

\[ \bar{P}/\bar{Q} = \frac { (k/q) \sinh [q (b/2)] \cos [k (b/2)] - \cosh [q (b/2)] \sin [k (b/2)] } { (k/q) \sinh [q (b/2)] \sin [k (b/2)] + \cosh [q (b/2)] \cos [k (b/2)] } . \tag{5.4} \]

O método requer varredura na energia do elétron, que é negativa, e está embutida nos números de onda:

\[ k = \frac{1}{\hbar} \sqrt{2m(E+V_0)} , \tag{5.5} \]

\[ q = \frac{1}{\hbar} \sqrt{2m(0-E)} . \tag{5.6} \]

Como se vê na Fig. 2.1, para fitar toda série de energia de confinamento, a varredura deve conter os valores: \(-V_0<E<0\). Ao invés da inspeção ser realizada com números negativos, é preferível utilizar valores positivos. Para isso, pode-se parametrizar a energia:

\[ E = (\eta-1) V_0 , \tag{5.7} \]

e fazer o parâmetro de energia percorrer os valores: \(0<\eta<1\).

5.1 Exemplo numérico

Vamos colocar números nas fórmulas!

Este exemplo considera um DQW de profundidade \(V_0=\) 0,1 eV e estrutura 100-20-100 Å, quer dizer, de \(w=\) 100 Å e \(b=\) 20 Å. As curvas das Eqs. (5.1) e (5.3), que foram designadas curva par e curva ímpar, respectivamente, são apresentadas na Fig. 5.1.

Figura 5.1: Cruzamantos de equações transcendentais.

Os cruzamantos das equações transcendentais revelam os seguintes parâmetros de energia (adimensionais):

\[ \begin{aligned} \eta _ 1 &= 0,\!0294 \ \ \leftarrow \ \ {\it curva\ par} ,\\ \eta _ 2 &= 0,\!0300 \ \ \leftarrow \ \ {\it curva\ \acute{\imath}\!mpar} . \end{aligned} \tag{5.8} \]

Os parâmetros (5.8) correspondem às seguintes energias de confinamento (meV):

\[ \begin{aligned} E _ 1 &= -97,\!06 ;\\ E _ 2 &= -97,\!00 . \end{aligned} \tag{5.9} \]

O nível de energia é definido como:

\[ \epsilon = E + V_0 . \tag{5.10} \]

Já que \(V_0=100\) meV, as energias (5.9) correspondem aos seguintes níveis de energia (meV):

\[ \begin{aligned} \epsilon _ 1 &= 2,\!94 ;\\ \epsilon _ 2 &= 3,\!00 . \end{aligned} \tag{5.11} \]

Os resultados indicam que o nível de energia do estado fundamental se origina da solução par e que o nível de energia do primeiro estado excitado vem da solução ímpar. A diferença de energia entre os níveis de energia (5.11) é (meV):

\[ \epsilon _ 2 - \epsilon _ 1 = 0,\!06 . \tag{5.12} \]

6 O efeito da espessura da barreira

A energia de confinamento é sensível em relação à espessura da barreira-central, ao valor de \(b\). A função de onda do lado esquerdo do DQW se conecta com a do lado direito, através da barreira-central, mas, se os poços estiverem muito afastados um do outro, a função de onda perde a conexão. Nesse caso, o efeito de tunelamento passa a ser desprezível, e o DQW se comporta como 2-poços simples, individuais. Por exemplo, para o DQW da seção [5.1], o efeito de espessura de barreira sobre os níveis de energia é apresentado na Fig. 6.1.

Figura 6.1: Efeito de espessura de barreira. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

O aumento da espessura da barreira faz os níveis do DQW \((\epsilon_1,\epsilon_2)\) se aproximarem do patamar \(\epsilon_1\) (100 Å): nível de energia do estado fundamental de um poço simples de largura 100 Å. O efeito do desacoplamento dos poços é nítido, por exemplo, quando a barreira atinge 50 Å de espessura. Nesse caso, o poço duplo (100-50-100 Å) se comporta como um poço simples (100 Å) afastado (e desacoplado) de outro poço simples (100 Å).

Por outro lado, barreiras delgadas (finas) intensificam a diferença entre os níveis do DQW, como se vê, no início da Fig. 6.1. No limite da barreira desaparecer (\(b \to 0\)), o DQW se comporta como um poço simples de largura \(2w\): O nível de energia \(\epsilon_1\) tende ao nível de energia do estado fundamental de um poço simples de largura 200 Å, e o nível de energia \(\epsilon_2\), avizinha-se do nível de energia do primeiro estado excitado desse mesmo poço simples.

O efeito de espessura de barreira é ilustrado na Fig. 6.2

Figura 6.2: Ilustração do efeito de espessura de barreira.

A Fig. 6.3 mostra que a diferença de energia entre os níveis de energia \((\epsilon_2-\epsilon_1)\) do DQW da seção [5.1] cai exponencialmente em função da largura da barreira.

Figura 6.3: Comportamento da diferença de energia entre níveis de energia. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

7 A função de onda par

Distribuído pelas seções, há peças para a construção da função de onda de caráter par, que se estende de \(-\infty < x < \infty\). Cabe, agora, organizar essas peças.

Antes de tudo, precisamos revestir a notação com o fato da energia ser quantizada. Faremos isso, adicionando \(n\) à notação:

\[ \begin{aligned} k_n &= \frac{1}{\hbar} \sqrt{2m(E_n + V_0)} ,\\ q_n &= \frac{1}{\hbar} \sqrt{2m(0 - E_n)} , \end{aligned} \tag{7.1} \]

Nesta seção, o rótulo \(n\) corre entre os números ímpares: \(n=1,3,5,\dots\)

O procedimento é bem simples: Para encontrar a função de onda do lado direto do DQW, divide-se as Eqs. (4.1), (4.2) e (4.10) pela quantidade \(Q\):

\[ \begin{aligned} P_2 (x) /Q &= (P/Q) \cos [k_nx] + \sin [k_nx] ,\\ B_2 (x) /Q &= (D/Q) \exp [-q_nx] ,\\ B_c (x) /Q &= (B/Q) \cosh [q_nx] , \end{aligned} \tag{7.2} \]

sendo as relações de apoio:

\[ \begin{aligned} P/Q &= \frac { (k_n/q_n) \cosh [q_n (b/2)] \cos [k_n (b/2)] - \sinh [q_n (b/2)] \sin [k_n (b/2)] } { (k_n/q_n) \cosh [q_n (b/2)] \sin [k_n (b/2)] + \sinh [q_n (b/2)] \cos [k_n (b/2)] } ,\\ D/Q &= \left\{ (P/Q) \cos [k_n (b/2+w)] + \sin [k_n (b/2+w)] \right\} \exp{ [q_n (b/2+w)] } ,\\ B/Q &= \frac { (P/Q) \cos [k_n (b/2)] + \sin [k_n (b/2)] } { \cosh{ [q_n (b/2)] } } . \end{aligned} \tag{7.3} \]

Agora, o lado esquerdo é o lado negativo \((x<0)\). Vamos chamar os negativos de \(x_{-}\) (e os positivos de \(x_{+}\)). Então, para encontrar a função de onda do lado esquerdo do DQW, explora-se o fato deste caso de trabalho ser o caso par e, conforme (3.6), a função do lado esquerdo é igual à função do lado direito, logo:

\[ \begin{aligned} P_1 (x_{-}) /Q &= P_2 (x_{+}) /Q ,\\ B_1 (x_{-}) /Q &= B_2 (x_{+}) /Q ,\\ B_c (x_{-}) /Q &= B_c (x_{+}) /Q . \end{aligned} \tag{7.4} \]

Por exemplo:

\[ B_1 (-121) /Q = (D/Q) \exp [-q_n \cdot 121] . \tag{7.5} \]

As peças (7.2) e (7.4) constroem a função de onda par em toda extenção do DQW. Mantendo a geometria e profundidade do DQW da seção [5.1], a Fig. 7.1 apresenta a função de onda do estado fundamental — nível de energia \(\epsilon_1=\) 2,94 meV.

Figura 7.1: Função de onda do estado fundamental. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

8 A função de onda ímpar

Deve-se lembrar que a notação do caso ímpar é marcada com uma barra. Também, que as posições do lado esquerdo e direiro são representadas por \(x_{-}\) e \(x_{+}\), respectivamente.

Atenção na hora de utilizar os números de onda (7.1): Nesta seção, o rótulo \(n\) corre entre os números pares: \(n=2,4,6,\dots\)

Do lado direto do DQW:

\[ \begin{aligned} \bar{P}_2 (x) / \bar{Q} &= (\bar{P}/\bar{Q}) \cos [k_nx] + \sin [k_nx] ,\\ \bar{B}_2 (x) / \bar{Q} &= (\bar{D}/\bar{Q}) \exp [-q_nx] ,\\ \bar{B}_c (x) / \bar{Q} &= (\bar{B}/\bar{Q}) \sinh [q_nx] . \end{aligned} \tag{8.1} \]

Agora, as relações de apoio são:

\[ \begin{aligned} \bar{P}/\bar{Q} &= \frac { (k_n/q_n) \sinh [q_n (b/2)] \cos [k_n (b/2)] - \cosh [q_n (b/2)] \sin [k_n (b/2)] } { (k_n/q_n) \sinh [q_n (b/2)] \sin [k_n (b/2)] + \cosh [q_n (b/2)] \cos [k_n (b/2)] } ,\\ \bar{D}/\bar{Q} &= \left\{ (\bar{P}/\bar{Q}) \cos [k_n (b/2+w)] + \sin [k_n (b/2+w)] \right\} \exp{ [q_n (b/2+w)] } ,\\ \bar{B}/\bar{Q} &= \frac { (\bar{P}/\bar{Q}) \cos [k_n (b/2)] + \sin [k_n (b/2)] } { \sinh{ [q_n (b/2)] } } . \end{aligned} \tag{8.2} \]

E para encerrar, este caso de trabalho é o caso ímpar, segundo (3.7), a função do lado esquerdo é menos igual à função do lado direito:

\[ \begin{aligned} \bar{P}_1 (x_{-}) / \bar{Q} &= - \bar{P}_2 (x_{+}) / \bar{Q} ,\\ \bar{B}_1 (x_{-}) / \bar{Q} &= - \bar{B}_2 (x_{+}) / \bar{Q} ,\\ \bar{B}_c (x_{-}) / \bar{Q} &= - \bar{B}_c (x_{+}) / \bar{Q} . \end{aligned} \tag{8.3} \]

Por exemplo:

\[ \bar{B}_1 (-121) / \bar{Q} = - (\bar{D} / \bar{Q}) \exp [-q_n \cdot 121] . \tag{8.4} \]

As peças (8.1) e (8.3) montam a função de onda ímpar em toda extenção do DQW. Mantendo a geometria e profundidade do DQW da seção [5.1], a Fig. 8.1 apresenta a função de onda do primeiro estado excitado — nível de energia \(\epsilon_2=\) 3,00 meV.

Figura 8.1: Função de onda do primeiro estado excitado. Ver geometria e profundidade do DQW na própria figura.

9 A função de onda normalizada

As seções [7] e [8] deixaram em aberto a quantidade \(Q\). Pode-se dizer que as funções de onda apresentadas nas Figs. 7.1 e 8.1 não estão normalizadas.

O valor de \(Q\) é encontrado pelo processo de normalização de função de onda:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \left| \frac{\Psi(x)}{Q} \right|^2 dx = \frac{1}{\left| Q \right|^2 } . \tag{9.1} \]

Lembrando que \(\Psi(x)/Q\) representa uma função de onda não normalizada, a Eq. (9.1) nos leva a concluir que a área debaixo da curva da densidade de probabilidade não-normalizada é igual à quantidade \(1/|Q|^2\).

O valor de \(Q\) está vinculado ao valor de uma área. Há vários softwares que podem calcular áreas de curvas. O método, aqui sugerido, faz uso desses softwares.

Desse modo, tomando as funções de onda das Figs. 7.1 e 8.1, as áreas de suas densidades de probabilidade possuem os valores impressos na Tabela 9.1.

Os valores da Tabela 9.1 são bem parecidos, isso porque as curvas das densidades de probabilidade são quase idênticas — ver a Fig. 9.1.

Figura 9.1: Densidade de probabilidade do estado fundamental e do primeiro estado excitado. As curvas estão normalizadas. DQW: Geometria e profundidade na própria figura.

10 Considerações finais

A primeira equação escrita no artigo, Eq. (3.1), estabeleceu o “público-alvo” que se queira atingir. Pode-se dizer que o “publico-alvo” é o elétron no vácuo. Isso é claro, já que a grandeza \(m\), da Eq. (3.1), representa massa de repouso do elétron: \(m=9,\!11 \times 10^{-31}\) kg. E onde está esse elétron? Não há matéria ao seu redor. O potencial 2.1 que confina o elétron é construído no vácuo.

Então está faltando algo nesse artigo: a matéria!

Poços quânticos não são construídos no vácuo. A indústria de semicondutores investe pesado no desenvolvimento de materiais semicondutores. Faça uma pesquisa sobre o tema. O resultado vai mostrar que são feitos montantes enormes de investimentos para se alcançar uma posição de destaque na indústria de componentes eletrônicos.

O elétron dentro de um material semicondutor se comporta como uma partícula de massa reduzida. Por exemplo, a massa efetiva do elétron no GaAs é \(0,\!067 \times 9,\!11 \times 10^{-31}\) kg, ou seja, um valor 15 vezes menor que a massa do elétron no vácuo.

E como o fator massa reduzida afeta o valor da energia de confinamento?

Este será o tema do próximo artigo, tendo como título:

Poço Quântico Duplo de Semicondutores.