1 Introdução

Um dos principais conceitos da teoria quântica do momento angular é o conceito de adição de momentos angulares: O operador vetorial do momento angular total J é o resultado da adição do operador vetorial do momento angular orbital L com o operador vetorial do momento angular de spin S:

J=L+S.

Em componentes cartesianas,

J=(Lx+Sx)ˆex+(Ly+Sy)ˆey+(Lz+Sz)ˆez.

Uma partícula de spin S, por exemplo S=12, em um orbital de momento angular orbital L, por exemplo L=1, está em um estado combinado por funções de momento angular orbital e funções de spin. Este estado, conhecido como harmônico esférico tensorial, é um estado de momento angular total J e projeção M.

Este artigo tem como objetivo apresentar o harmônico esférico tensorial e explicitar o caso do orbital 1 e spin 1/2.

2 A notação adotada

O texto segue a gráfica do livro (D A Varshalovich 1988).

3 O harmônico esférico tensorial

A função de momento angular total que tratamos neste artigo é autofunção do operador de momento angular total (ao quadrado) e também da componente z desse mesmo operador:

J2Yabcγ=c(c+1)Yabcγ,JzYabcγ=γYabcγ.

Ademais, também é autofunção do operador de momento angular orbital (ao quadrado) e do operador de spin (ao quadrado):

L2Yabcγ=a(a+1)Yabcγ,S2Yabcγ=b(b+1)Yabcγ.

No livro (D A Varshalovich 1988), Yabcγ recebe o nome de harmônico esférico tensorial. Ele descreve o estado de uma partícula que possui spin S=b, momento angular total J=c, projeção M=γ e momento angular orbital L=a.

O operador de momento angular total é o resultado da adição do operador de momento angular orbital com o operador de momento angular de spin, ver (1), então, de acordo com o esquema de adição de dois momentos angulares, o harmônico esférico tensorial pode ser expandido em quantidades do produto das funções Yaα e χbβ:

Yabcγ=∑α,βCcγaαbβYaαχbβ.

Na expanção (9), os harmônicos esféricos Yaα dependem dos ângulos polares (θ,ϕ), e as amplitudes de probabilidade Ccγaαbβ são os conhecidos coeficientes de Clebsch-Gordan.

Ainda de acordo com o esquema de adição de dois momentos angulares, os possíveis valores do momento angular total são:

c=a+b,…,|a−b|.

Para cada valor de c, os possíveis valores da projeção do momento angular total são:

γ=c,c−1,…,−c+1,−c.

Lembramos que os valores do momento angular orbital são inteiros:

a∈{0,1,2,3,…}.

Para cada valor de a, os possíveis valores da projeção do momento angular orbital são:

α=a,a−1,…,−a+1,−a.

Já os valores do spin são inteiros e meio-inteiros:

b∈{0,12,1,32,2,…}.

Para cada valor de b, os possíveis valores da projeção do momento angular de spin são:

β=b,b−1,…,−b+1,−b.

Os valores das projeções γ, sendo γ=α+β, são determinados por meio de combinações dos valores das projeções α e β. As combinações são determinadas com o auxílio de uma tabela: Na indicação das colunas, são colocados os valores de α, e, na indicação das linhas, os valores de β. Nas intersecções, coloca-se o resultado da soma (α+β):

aa−1⋯−a←αbb−1⋮−b[a+ba−1+b⋯−a+ba+b−1a−1+b−1⋯−a+b−1⋮⋮⋮⋮a−ba−1−b⋯−a−b]↑β↗γ

4 O caso do orbital 1 e spin 1/2

Nesta seção, vamos substituir a=1 e b=12 nas equações da seção [ 3 ].

Os possíveis valores das projeções dos momentos angulares orbital e de spin são:

α=1,0,−1;β=12,−12.

De acordo com (10), os possíveis valores do momento angular total e de sua projeção são:

c=32 ⟹ γ=32,12,−12,−32;c=12 ⟹ γ=12,−12.

Com o auxílio da tabela (16), as combinações que geram os valores de γ são:

10−1←α+12−12[3212−1212−12−32]↑β↗γ

De acordo com a contagem (18), há 4 valores de γ para o momento total 3/2, por isso, há 4 estados com momento total 3/2:

Y11232γ=∑α=1,0,−1 ∑β=12,−12C32γ1α12βY1αχ12β ,

analogamente, há 2 estados com momento total 1/2:

Y11212γ=∑α=1,0,−1 ∑β=12,−12C12γ1α12βY1αχ12β .

Vamos explicitar os estados com momento angular total c=32 (20):

Y11232γ=∑α=1,0,−1 ∑β=12,−12C32γ1α12βY1αχ12β=∑α=1,0,−1{C32γ1α1212Y1αχ1212 + C32γ1α12−12Y1αχ12−12}=C32γ111212Y11χ1212 + C32γ1112−12Y11χ12−12+C32γ101212Y10χ1212 + C32γ1012−12Y10χ12−12+C32γ1−11212Y1−1χ1212 + C32γ1−112−12Y1−1χ12−12.

Se identificarmos χ1212 e χ12−12 como a função de spin-up e de spin-down, respectivamente, o estado (22) é formado pelos produtos:

funç˜ao de momento angular orbital×funç˜ao de spin-up,funç˜ao de momento angular orbital×funç˜ao de spin-down.

Nota: Dizer “spin-up” é o mesmo que dizer “spin de valor 12 e projeção 12,” então, dizer “spin de valor 12 e projeção −12” é o mesmo que dizer “spin-down.”

O livro (D A Varshalovich 1988) traz fórmulas algébricas para os coeficientes de Clebsch-Gordan. Aqui vamos reproduziz apenas as fórmulas que nos interessam para terminar de escrever (22). As fórmulas para c=32 e b=12 são:

C32γaα12β=12=√32+γ3,se α+β=γ,=0,caso contrˊario,C32γaα12β=−12=√32−γ3,se α+β=γ,=0,caso contrˊario.

Como se vê, os coeficientes (24) são para qualquer a. Ademais, não dependem explicitamente dos valores de α, todavia, para terem valor diferente de zero, precisam estar de acordo com a tabela (19): respeitar a soma α+β=γ.

O ESTADO COM PROJEÇÃO γ=32:

Para α+β(12)=γ(32), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com α=1:

C3232111212=1,C3232101212=0,C32321−11212=0,

e não existe combinação para α+β(−12)=γ(32):

C32321112−12=0,C32321012−12=0,C32321−112−12=0.

Substituindo (25) e (26) em (22), conclui-se que há, no orbital Y11, um spin-up:

Y11232γ=32=Y11χ1212.

O ESTADO COM PROJEÇÃO γ=−32:

Para α+β(−12)=γ(−32), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com α=−1:

C32−321112−12=0,C32−321012−12=0,C32−321−112−12=1,

e não existe combinação para α+β(12)=γ(−32):

C32−32111212=0,C32−32101212=0,C32−321−11212=0.

Substituindo (28) e (29) em (22), conclui-se que há, no orbital Y1−1, um spin-down:

Y11232γ=−32=Y1−1χ12−12.

O ESTADO COM PROJEÇÃO γ=12:

Para α+β(12)=γ(12), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com α=0:

C3212111212=0,C3212101212=√23,C32121−11212=0,

e, para α+β(−12)=γ(12), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com α=1:

C32121112−12=√13,C32121012−12=0,C32121−112−12=0.

Substituindo (31) e (32) em (22), conclui-se que há superposição de um spin-up no orbital Y10 com um spin-down no orbital Y11:

Y11232γ=12=√23Y10χ1212+√13Y11χ12−12.

O ESTADO COM PROJEÇÃO γ=−12:

Para α+β(12)=γ(−12), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com α=−1:

C32−12111212=0,C32−12101212=0,C32−121−11212=√13,

e, para α+β(−12)=γ(−12), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com α=0:

C32−121112−12=0,C32−121012−12=√23,C32−121−112−12=0.

Substituindo (34) e (35) em (22), conclui-se que há superposição de um spin-up no orbital Y1−1 com um spin-down no orbital Y10:

Y11232γ=−12=√13Y1−1χ1212+√23Y10χ12−12.

Inspecionando os 4 estados de momento angular total 32, o estado de projeção 32 (27) é exclusivo de spin-up, enquanto que o estado de projeção −32 (30) é exclusivo de spin-down. Os estados de projeção ±12 são misturas de spin-up e spin-down (superposição). Mas o estado de projeção 12 (33) tem amplitude de probabilidade maior para o spin-up, enquanto que o estado de projeção −12 (36) tem amplitude de probabilidade maior para o spin-down.

5 Conclusão

Conclui-se que o harmônico esférico tensorial é um estado combinado por funções de momento angular orbital e funções de spin. A combinação pode gerar estados exclusivos de spin-up, exclusivos de spin-down, ou estados mistos, com amplitudes de probabilidade que privilegiam o spin up ou o spin down.