1 Introdução

Um dos principais conceitos da teoria quântica do momento angular é o conceito de adição de momentos angulares: O operador vetorial do momento angular total \( \mathbf{J} \) é o resultado da adição do operador vetorial do momento angular orbital \( \mathbf{L} \) com o operador vetorial do momento angular de spin \( \mathbf{S} \):

\[\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} . \label{eq:INTRO1} \end{equation}\]

Em componentes cartesianas,

\[\begin{equation} \mathbf{J} = \left( L _ x + S _ x \right) \hat{e} _ x + \left( L _ y + S _ y \right) \hat{e} _ y + \left( L _ z + S _ z \right) \hat{e} _ z . \label{eq:INTRO2} \end{equation}\]

Uma partícula de spin \(S\), por exemplo \(S=\frac{1}{2}\), em um orbital de momento angular orbital \(L\), por exemplo \(L=1\), está em um estado combinado por funções de momento angular orbital e funções de spin. Este estado, conhecido como harmônico esférico tensorial, é um estado de momento angular total \(J\) e projeção \(M\).

Este artigo tem como objetivo apresentar o harmônico esférico tensorial e explicitar o caso do orbital 1 e spin 1/2.

2 A notação adotada

O texto segue a gráfica do livro (D A Varshalovich 1988).

3 O harmônico esférico tensorial

A função de momento angular total que tratamos neste artigo é autofunção do operador de momento angular total (ao quadrado) e também da componente \(z\) desse mesmo operador:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{J} ^2 Y _ { c \gamma } ^{ a b } &= c(c+1) Y _ { c \gamma } ^{ a b } , \notag\\ J _ z Y _ { c \gamma } ^{ a b } &= \gamma Y _ { c \gamma } ^{ a b } . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT4a} \end{equation}\]

Ademais, também é autofunção do operador de momento angular orbital (ao quadrado) e do operador de spin (ao quadrado):

\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{L} ^2 Y _ { c \gamma } ^{ a b } &= a(a+1) Y _ { c \gamma } ^{ a b } , \notag\\ \mathbf{S} ^2 Y _ { c \gamma } ^{ a b } &= b(b+1) Y _ { c \gamma } ^{ a b } . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT4b} \end{equation}\]

No livro (D A Varshalovich 1988), \(Y_{c\gamma}^{ab}\) recebe o nome de harmônico esférico tensorial. Ele descreve o estado de uma partícula que possui spin \(S=b\), momento angular total \(J=c\), projeção \(M=\gamma\) e momento angular orbital \(L=a\).

O operador de momento angular total é o resultado da adição do operador de momento angular orbital com o operador de momento angular de spin, ver \(\eqref{eq:INTRO1}\), então, de acordo com o esquema de adição de dois momentos angulares, o harmônico esférico tensorial pode ser expandido em quantidades do produto das funções \(Y_{a\alpha}\) e \(\chi_{b\beta}\):

\[\begin{equation} Y _ { c \gamma } ^{ a b } = \sum _ { \alpha , \beta } C _ { a \alpha b \beta } ^{ c \gamma } Y _ { a \alpha } \chi _ { b \beta } . \label{eq:TOT6} \end{equation}\]

Na expanção \(\eqref{eq:TOT6}\), os harmônicos esféricos \(Y_{a\alpha}\) dependem dos ângulos polares \((\theta,\phi)\), e as amplitudes de probabilidade \(C_{a\alpha b\beta}^{c\gamma}\) são os conhecidos coeficientes de Clebsch-Gordan.

Ainda de acordo com o esquema de adição de dois momentos angulares, os possíveis valores do momento angular total são:

\[\begin{equation} c = a+b, \dots, |a-b| . \label{eq:TOT7a} \end{equation}\]

Para cada valor de \(c\), os possíveis valores da projeção do momento angular total são:

\[\begin{equation} \gamma = c, c-1, \dots, -c+1, -c . \label{eq:TOT7b} \end{equation}\]

Lembramos que os valores do momento angular orbital são inteiros:

\[\begin{equation} a \in \{ 0, 1, 2, 3, \dots \} . \label{eq:TOT8a} \end{equation}\]

Para cada valor de \(a\), os possíveis valores da projeção do momento angular orbital são:

\[\begin{equation} \alpha = a, a-1, \dots, -a+1, -a . \label{eq:TOT8b} \end{equation}\]

Já os valores do spin são inteiros e meio-inteiros:

\[\begin{equation} b \in \left\{ 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, 2, \dots \right\} . \label{eq:TOT9a} \end{equation}\]

Para cada valor de \(b\), os possíveis valores da projeção do momento angular de spin são:

\[\begin{equation} \beta = b, b-1, \dots, -b+1, -b . \label{eq:TOT9b} \end{equation}\]

Os valores das projeções \(\gamma\), sendo \(\gamma=\alpha + \beta\), são determinados por meio de combinações dos valores das projeções \(\alpha\) e \(\beta\). As combinações são determinadas com o auxílio de uma tabela: Na indicação das colunas, são colocados os valores de \(\alpha\), e, na indicação das linhas, os valores de \(\beta\). Nas intersecções, coloca-se o resultado da soma \((\alpha + \beta)\):

\[\begin{equation} \begin{array}{ccc} \begin{matrix} {} \end{matrix} &\begin{matrix} a \hspace{30pt} & a-1 \hspace{20pt} & \cdots \hspace{16pt} & -a \end{matrix} &\begin{matrix} {\leftarrow \alpha} \end{matrix} \\ \begin{matrix} b \\ b-1 \\ \vdots \\ -b \end{matrix} &\begin{bmatrix} a+b & a-1+b & \cdots & -a+b \\ a+b-1 & a-1+b-1 & \cdots & -a+b-1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a-b & a-1-b & \cdots & -a-b \end{bmatrix} &\begin{matrix} {} \end{matrix} \\ \begin{matrix} {\uparrow \beta} \end{matrix} &\begin{matrix} {\nearrow \gamma} & \hspace{35pt} {} & \hspace{35pt} {} \end{matrix} &\begin{matrix} {} \end{matrix} \end{array} \label{eq:TOT10} \end{equation}\]

4 O caso do orbital 1 e spin 1/2

Nesta seção, vamos substituir \(a=1\) e \(b=\frac{1}{2}\) nas equações da seção [ 3 ].

Os possíveis valores das projeções dos momentos angulares orbital e de spin são:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \alpha &= 1 , 0 , -1 ; \notag\\ \beta &= \tfrac{1}{2} , -\tfrac{1}{2} . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT11} \end{equation}\]

De acordo com \(\eqref{eq:TOT7a}\), os possíveis valores do momento angular total e de sua projeção são:

\[\begin{equation} \begin{aligned} c &= \tfrac{3}{2} \ \implies \ \gamma = \tfrac{3}{2} , \tfrac{1}{2} , -\tfrac{1}{2} , -\tfrac{3}{2} ; \notag\\ c &= \tfrac{1}{2} \ \implies \ \gamma = \tfrac{1}{2} , -\tfrac{1}{2} . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT12} \end{equation}\]

Com o auxílio da tabela \(\eqref{eq:TOT10}\), as combinações que geram os valores de \(\gamma\) são:

\[\begin{equation} \begin{array}{ccc} \begin{matrix} {} \end{matrix} &\begin{matrix} 1 \hspace{7pt} & 0 & \hspace{8pt} -1 \end{matrix} &\begin{matrix} {\leftarrow \alpha} \end{matrix} \\ \begin{matrix} +\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{matrix} &\begin{bmatrix} \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} \end{bmatrix} &\begin{matrix} {} \end{matrix} \\ \begin{matrix} {\uparrow \beta} \end{matrix} &\begin{matrix} {\nearrow \gamma} & {} & {} \end{matrix} &\begin{matrix} {} \end{matrix} \end{array} \label{eq:TOT13} \end{equation}\]

De acordo com a contagem \(\eqref{eq:TOT12}\), há 4 valores de \(\gamma\) para o momento total 3/2, por isso, há 4 estados com momento total 3/2:

\[\begin{equation} Y _ { \frac{3}{2} \gamma } ^{ 1 \frac{1}{2} } = \sum _ {\alpha = 1,0,-1} \ \sum _ {\beta=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} C _ { 1 \alpha \frac{1}{2} \beta } ^{ \frac{3}{2} \gamma } Y _ { 1 \alpha } \chi _ { \frac{1}{2} \beta } \ , \label{eq:TOT14a} \end{equation}\]

analogamente, há 2 estados com momento total 1/2:

\[\begin{equation} Y _ { \frac{1}{2} \gamma } ^{ 1 \frac{1}{2} } = \sum _ {\alpha = 1,0,-1} \ \sum _ {\beta=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} C _ { 1 \alpha \frac{1}{2} \beta } ^{ \frac{1}{2} \gamma } Y _ { 1 \alpha } \chi _ { \frac{1}{2} \beta } \ . \label{eq:TOT14b} \end{equation}\]

Vamos explicitar os estados com momento angular total \(c=\frac{3}{2}\) \(\eqref{eq:TOT14a}\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} Y _ { \frac{3}{2} \gamma } ^{ 1 \frac{1}{2} } &= \sum _ {\alpha = 1,0,-1} \ \sum _ {\beta=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} C _ { 1 \alpha \frac{1}{2} \beta } ^{ \frac{3}{2} \gamma } Y _ { 1 \alpha } \chi _ { \frac{1}{2} \beta } \notag\\ &= \sum _ {\alpha = 1,0,-1} \left\{ C _ {1 \alpha \frac{1}{2} \frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} \gamma } Y _ {1 \alpha} \chi _ {\frac{1}{2} \frac{1}{2} } \ + \ C _ {1 \alpha \frac{1}{2} -\frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} \gamma } Y _ {1 \alpha} \chi _ {\frac{1}{2} -\frac{1}{2} } \right\} \notag\\ &= C _ {1 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} \gamma } Y _ {1 1} \chi _ {\frac{1}{2} \frac{1}{2} } \ + \ C _ {1 1 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} \gamma } Y _ {1 1} \chi _ {\frac{1}{2} -\frac{1}{2} }\notag\\ &\hspace{1cm} +C _ {1 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} \gamma } Y _ {1 0} \chi _ {\frac{1}{2} \frac{1}{2} } \ + \ C _ {1 0 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} \gamma } Y _ {1 0} \chi _ {\frac{1}{2} -\frac{1}{2} }\notag\\ &\hspace{2cm} +C _ {1 -1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} \gamma } Y _ {1 -1} \chi _ {\frac{1}{2} \frac{1}{2} } \ + \ C _ {1 -1 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} \gamma } Y _ {1 -1} \chi _ {\frac{1}{2} -\frac{1}{2} }.\notag\\ \end{aligned} \label{eq:TOT15} \end{equation}\]

Se identificarmos \(\chi_{\frac{1}{2} \frac{1}{2}}\) e \(\chi_{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\) como a função de spin-up e de spin-down, respectivamente, o estado \(\eqref{eq:TOT15}\) é formado pelos produtos:

\[\begin{equation} \begin{aligned} \text{fun}{\large ç}\tilde{\rm a}\text{o } \text{de momento angular orbital} &\times \text{fun}{\large ç}\tilde{\rm a}\text{o } \text{de spin-up,} \notag\\ \text{fun}{\large ç}\tilde{\rm a}\text{o } \text{de momento angular orbital} &\times \text{fun}{\large ç}\tilde{\rm a}\text{o } \text{de spin-down.} \notag\\ \end{aligned} \label{eq:TOT16} \end{equation}\]

Nota: Dizer “spin-up” é o mesmo que dizer “spin de valor \(\frac{1}{2}\) e projeção \(\frac{1}{2}\),” então, dizer “spin de valor \(\frac{1}{2}\) e projeção \(-\frac{1}{2}\)” é o mesmo que dizer “spin-down.”

O livro (D A Varshalovich 1988) traz fórmulas algébricas para os coeficientes de Clebsch-Gordan. Aqui vamos reproduziz apenas as fórmulas que nos interessam para terminar de escrever \(\eqref{eq:TOT15}\). As fórmulas para \(c=\frac{3}{2}\) e \(b=\frac{1}{2}\) são:

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {a \alpha \frac{1}{2} \beta=\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \gamma } &= \sqrt{\frac{\frac{3}{2} + \gamma}{3} } \, , \hspace{1cm} \text{se } \alpha+\beta=\gamma , \notag\\ &= 0 , \hspace{2.6cm} \text{caso contr}{\rm \acute{a}}\text{rio} , \notag\\ \\ C _ {a \alpha \frac{1}{2} \beta=-\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \gamma } &= \sqrt{\frac{\frac{3}{2} - \gamma}{3} } \, , \hspace{1cm} \text{se } \alpha+\beta=\gamma , \notag\\ &= 0 , \hspace{2.6cm} \text{caso contr}{\rm \acute{a}}\text{rio} . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT17} \end{equation}\]

Como se vê, os coeficientes \(\eqref{eq:TOT17}\) são para qualquer \(a\). Ademais, não dependem explicitamente dos valores de \(\alpha\), todavia, para terem valor diferente de zero, precisam estar de acordo com a tabela \(\eqref{eq:TOT13}\): respeitar a soma \(\alpha+\beta=\gamma\).

\({ }\)

O ESTADO COM PROJEÇÃO \(\gamma=\frac{3}{2}\):

Para \(\alpha + \beta \left( \frac{1}{2} \right) = \gamma \left( \frac{3}{2} \right)\), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com \(\alpha=1\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {1 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{3}{2} } &= 1 , \notag\\ C _ {1 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{3}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1-1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{3}{2} } &= 0 , \notag \end{aligned} \label{eq:TOT18a} \end{equation}\]

e não existe combinação para \(\alpha + \beta \left( -\frac{1}{2} \right) = \gamma \left( \frac{3}{2} \right)\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {1 1 \frac{1}{2}-\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{3}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1 0 \frac{1}{2}-\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{3}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1-1 \frac{1}{2}-\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{3}{2} } &= 0 . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT18b} \end{equation}\]

Substituindo \(\eqref{eq:TOT18a}\) e \(\eqref{eq:TOT18b}\) em \(\eqref{eq:TOT15}\), conclui-se que há, no orbital \(Y_{1 1}\), um spin-up:

\[\begin{equation} \begin{aligned} Y _ { \frac{3}{2} \gamma = \frac{3}{2} } ^{ 1 \frac{1}{2} } &= Y _ {1 1} \chi _ {\frac{1}{2} \frac{1}{2} } . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT18c} \end{equation}\]

\({ }\)

O ESTADO COM PROJEÇÃO \(\gamma=-\frac{3}{2}\):

Para \(\alpha + \beta \left( -\frac{1}{2} \right) = \gamma \left( -\frac{3}{2} \right)\), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com \(\alpha=-1\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {1 1 \frac{1}{2}-\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1 0 \frac{1}{2}-\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1-1 \frac{1}{2}-\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2} } &= 1 , \notag \end{aligned} \label{eq:TOT18aa} \end{equation}\]

e não existe combinação para \(\alpha + \beta \left( \frac{1}{2} \right) = \gamma \left( -\frac{3}{2} \right)\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {1 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1-1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2} } &= 0 . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT18bb} \end{equation}\]

Substituindo \(\eqref{eq:TOT18aa}\) e \(\eqref{eq:TOT18bb}\) em \(\eqref{eq:TOT15}\), conclui-se que há, no orbital \(Y_{1-1}\), um spin-down:

\[\begin{equation} \begin{aligned} Y _ { \frac{3}{2} \gamma = -\frac{3}{2} } ^{ 1 \frac{1}{2} } &= Y _ {1-1} \chi _ {\frac{1}{2}-\frac{1}{2} } . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT18cc} \end{equation}\]

\({ }\)

O ESTADO COM PROJEÇÃO \(\gamma=\frac{1}{2}\):

Para \(\alpha + \beta \left( \frac{1}{2} \right) = \gamma \left( \frac{1}{2} \right)\), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com \(\alpha=0\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {1 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{1}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{1}{2} } &= \sqrt{ \tfrac{2}{3} } , \notag\\ C _ {1-1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{1}{2} } &= 0 , \notag \end{aligned} \label{eq:TOT20a} \end{equation}\]

e, para \(\alpha + \beta \left( -\frac{1}{2} \right) = \gamma \left( \frac{1}{2} \right)\), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com \(\alpha=1\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {1 1 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{1}{2} } &= \sqrt{ \tfrac{1}{3} } , \notag\\ C _ {1 0 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{1}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1-1 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2} \frac{1}{2} } &= 0 . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT20b} \end{equation}\]

Substituindo \(\eqref{eq:TOT20a}\) e \(\eqref{eq:TOT20b}\) em \(\eqref{eq:TOT15}\), conclui-se que há superposição de um spin-up no orbital \(Y_{10}\) com um spin-down no orbital \(Y_{11}\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} Y _ { \frac{3}{2} \gamma = \frac{1}{2} } ^{ 1 \frac{1}{2} } &= \sqrt{\tfrac{2}{3}} Y _ {1 0} \chi _ { \frac{1}{2} \frac{1}{2} } + \sqrt{\tfrac{1}{3}} Y _ {1 1} \chi _ { \frac{1}{2}-\frac{1}{2} } . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT20c} \end{equation}\]

\({ }\)

O ESTADO COM PROJEÇÃO \(\gamma=-\frac{1}{2}\):

Para \(\alpha + \beta \left( \frac{1}{2} \right) = \gamma \left( -\frac{1}{2} \right)\), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com \(\alpha=-1\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {1 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1-1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} } &= \sqrt{ \tfrac{1}{3} } , \notag \end{aligned} \label{eq:TOT21a} \end{equation}\]

e, para \(\alpha + \beta \left( -\frac{1}{2} \right) = \gamma \left( -\frac{1}{2} \right)\), o único coeficiente diferente de zero é o coeficiente com \(\alpha=0\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} C _ {1 1 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} } &= 0 , \notag\\ C _ {1 0 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} } &= \sqrt{ \tfrac{2}{3} } , \notag\\ C _ {1-1 \frac{1}{2} -\frac{1}{2} } ^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2} } &= 0 . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT21b} \end{equation}\]

Substituindo \(\eqref{eq:TOT21a}\) e \(\eqref{eq:TOT21b}\) em \(\eqref{eq:TOT15}\), conclui-se que há superposição de um spin-up no orbital \(Y_{1-1}\) com um spin-down no orbital \(Y_{10}\):

\[\begin{equation} \begin{aligned} Y _ { \frac{3}{2} \gamma = -\frac{1}{2} } ^{ 1 \frac{1}{2} } &= \sqrt{\tfrac{1}{3}} Y _ {1-1} \chi _ { \frac{1}{2} \frac{1}{2} } + \sqrt{\tfrac{2}{3}} Y _ {1 0} \chi _ { \frac{1}{2}-\frac{1}{2} } . \notag \end{aligned} \label{eq:TOT21c} \end{equation}\]

Inspecionando os 4 estados de momento angular total \(\frac{3}{2}\), o estado de projeção \(\frac{3}{2}\) \(\eqref{eq:TOT18c}\) é exclusivo de spin-up, enquanto que o estado de projeção \(-\frac{3}{2}\) \(\eqref{eq:TOT18cc}\) é exclusivo de spin-down. Os estados de projeção \(\pm \frac{1}{2}\) são misturas de spin-up e spin-down (superposição). Mas o estado de projeção \(\frac{1}{2}\) \(\eqref{eq:TOT20c}\) tem amplitude de probabilidade maior para o spin-up, enquanto que o estado de projeção \(-\frac{1}{2}\) \(\eqref{eq:TOT21c}\) tem amplitude de probabilidade maior para o spin-down.

5 Conclusão

Conclui-se que o harmônico esférico tensorial é um estado combinado por funções de momento angular orbital e funções de spin. A combinação pode gerar estados exclusivos de spin-up, exclusivos de spin-down, ou estados mistos, com amplitudes de probabilidade que privilegiam o spin up ou o spin down.