1 Introdução
Um dos principais conceitos da teoria quântica do momento angular é o conceito de spin. O operador de spin \( \mathbf{S} \) faz parte da descrição e caracterização do momento angular de vários sistemas: É adicionado ao operador de momento angular orbital \( \mathbf{L} \), para compor o operador de momento angular total \( \mathbf{J} \):
\[\begin{equation} \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} . \label{eq:INTRO1} \end{equation}\]
Em componentes cartesianas,
\[\begin{equation} \mathbf{J} = \left( L _ x + S _ x \right) \hat{e} _ x + \left( L _ y + S _ y \right) \hat{e} _ y + \left( L _ z + S _ z \right) \hat{e} _ z . \label{eq:INTRO2} \end{equation}\]
O operador de momento angular orbital pode ser representado por meio de uma função diferencial. Por exemplo, as componentes cartezianas de \( \mathbf{L} \) podem ser expressas em termos dos ângulos polares \((\theta,\phi)\):
\[\begin{equation} \newcommand{\sss}{\hspace{2pt}\mathrm{sen}} \newcommand{\ccc}{\hspace{2pt}\mathrm{cos}} \newcommand{\coco}{\hspace{2pt}\mathrm{cotg}} \begin{aligned} L _ x &= i \left( \sss \phi \frac{\partial}{\partial \theta} + \coco \theta \ccc \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right) , \notag\\ L _ y &= i \left(- \ccc \phi \frac{\partial}{\partial \theta} + \coco \theta \sss \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right) , \notag\\ L _ z &= -i \frac{\partial}{\partial \phi} . \end{aligned} \label{eq:INTRO3} \end{equation}\]
Ademais, as funções de momento angular orbital, os chamados harmônicos esféricos \(Y_{l,m}(\theta,\phi)\), também são funções dos ângulos polares.
Mas, e a função de spin? Que linguagem matemática é utilizada para representá-la? Bem, ela não é representada por uma função escalar: Uma função que retorna um escalar em cada local do espaço. A função de spin é representada por uma matriz.
Igualmente, o operador de spin também é representado por uma matriz — não é representado por uma função diferencial.
Este artigo tem como objetivo apresentar as matrizes do operador e da função de spin e mostrar que o aspecto dessas matrizes depende da base utilizada para construí-las. Para fazer a comparação, serão utilizadas as bases cartesiana e esférica.
2 A notação adotada
O texto segue a gráfica do livro (D A Varshalovich 1988).
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left( S _ {x} , S _ {y} , S _ {z} \right) \ &\longleftarrow \ \text{componentes cartesianas do operador de spin,} \\ \left( S _ {+1} , S _ {0} , S _ {-1} \right) \ &\longleftarrow \ \text{componentes esf}{\rm \acute{e}} \text{ricas do operador de spin.} \\ \chi \ &\longleftarrow \ \text{fun} {\large ç} \tilde{\rm a} \text{o de spin geral,} \\ \chi _ {Sm} \ &\longleftarrow \ \text{fun} {\large ç} \tilde{\rm a} \text{o de spin esf} {\rm \acute{e}} \text{rica,} \\ \chi _ {Sm}(\sigma) \ &\longleftarrow \ \text{elemento de matriz da } \text{fun} {\large ç} \tilde{\rm a} \text{o de spin esf} {\rm \acute{e}} \text{rica,} \\ S \ &\longleftarrow \ \text{o valor do spin,} \\ m \ &\longleftarrow \ \text{o valor da proje} {\large ç} \tilde{\rm a} \text{o do spin,} \\ \sigma \ &\longleftarrow \ \text{a vari} {\rm \acute{a}} \text{vel de spin,} \\ \chi _ {i} \ &\longleftarrow \ \text{fun} {\large ç} \tilde{\rm a} \text{o de spin cartesiana,} \\ \chi _ {i}(\sigma) \ &\longleftarrow \ \text{elemento de matriz da } \text{fun} {\large ç} \tilde{\rm a} \text{o de spin cartesiana.} \end{aligned} \label{eq:SP4} \end{equation}\]
3 A representação de base esférica
A função de spin esférica é autofunção do operador de spin (ao quadrado) e também da componente \(z\) desse mesmo operador:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{S} ^2 \chi _ {Sm} &= S(S+1) \chi _ {Sm} , \notag\\ S _ z \chi _ {Sm} &= m \chi _ {Sm} . \notag \end{aligned} \label{eq:SP5} \end{equation}\]
O conjunto \(\{\chi_{Sm}; m=S,S-1,\dots,-S+1,-S; {\rm total}=2S+1\}\) forma uma base de funções, intitulada, base de funções de spin esféricas, ou simplismente, base esférica.
A base é ortonormal:
\[\begin{equation} \chi _ {Sm}^{\dagger} \chi _ {Sm'} = \delta _ {mm'} . \label{eq:SP5b} \end{equation}\]
Nota: A matriz \(\chi_{Sm}^{\dagger}\) é a conjugada Hermitiana da matriz \(\chi_{Sm}\), quer dizer, \(\chi_{Sm}^{\dagger} = \widetilde{ \chi_{Sm}^{\ast} }\).
Uma função de spin geral pode ser expandida em quantidades de funções de spin esféricas:
\[\begin{equation} \chi = \sum _ {m=-S}^{S} a^{m} \chi _ {Sm} , \label{eq:SP5c} \end{equation}\]
com as amplitudes de probabilidade satisfazendo a condição de normalização:
\[\begin{equation} \sum _ {m=-S}^{S} |a^{m}|^2 = 1 . \label{eq:SP5d} \end{equation}\]
A matriz da função de spin esférica possui os elementos:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \chi _ {Sm}(\sigma) = \delta _ {m \sigma} , \end{aligned} \label{eq:SP6} \end{equation}\]
com a variável de spin assumindo os valores:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \sigma = S , S-1 , \dots , -S+1 , -S . \end{aligned} \label{eq:SP7} \end{equation}\]
\({ }\)
EXEMPLO DE COMO USAR \(\eqref{eq:SP6}\):
A matrix da função \(\chi _ {SS}\) (\(m=S\)) possui os elementos — faz-se a varredura na variável de spin conforme \(\eqref{eq:SP7}\):
\[\begin{equation} \chi _ {SS} = \begin{bmatrix} \chi _ {SS}(S) = \delta _ {S , S} \\ \chi _ {SS}(S-1) = \delta _ {S , S-1} \\ \vdots \\ \chi _ {SS}(-S+1) = \delta _ {S , -S+1} \\ \chi _ {SS}(-S) = \delta _ {S , -S} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} . \label{eq:SP8} \end{equation}\]
E a matrix da função \(\chi _ {S-S}\) (\(m=-S\)), os elementos:
\[\begin{equation} \chi _ {S-S} = \begin{bmatrix} \chi _ {S-S}(S) = \delta _ {-S , S} \\ \chi _ {S-S}(S-1) = \delta _ {-S , S-1} \\ \vdots \\ \chi _ {S-S}(-S+1) = \delta _ {-S , -S+1} \\ \chi _ {S-S}(-S) = \delta _ {-S , -S} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} . \label{eq:SP9} \end{equation}\]
Inspecionando \(\eqref{eq:SP8}\) e \(\eqref{eq:SP9}\), percebe-se que as funções de spin esféricas, na representação de base esférica, são simples.
Fim do exemplo.
O elemento de matrix de um operador de spin é determinado pelo operador de spin entre funções de spin de certa base. Utilizando a base esférica, os únicos elementos não-nulos da tríade \((S_x,S_y,S_z)\) são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \chi _ {Sm\pm 1}^{\dagger} S _ x \chi _ {Sm} &= \frac{1}{2} \sqrt{(S\mp m)(S\pm m+1)} , \notag\\ \chi _ {Sm\pm 1}^{\dagger} S _ y \chi _ {Sm} &= \mp \frac{i}{2} \sqrt{(S\mp 1)(S\pm m+1)} , \notag\\ \chi _ {Sm}^{\dagger} S _ z \chi _ {Sm} &= m . \notag \end{aligned} \label{eq:SP10} \end{equation}\]
E os únicos elementos não-nulos da tríade \((S_{+1},S_{0},S_{-1})\) são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \chi _ {Sm+1}^{\dagger} S _ {+1} \chi _ {Sm} &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(S-m)(S+m+1)} , \notag\\ \chi _ {Sm-1}^{\dagger} S _ {-1} \chi _ {Sm} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(S+m)(S-m+1)} , \notag\\ \chi _ {Sm}^{\dagger} S _ {0} \chi _ {Sm} &= m . \notag \end{aligned} \label{eq:SP11} \end{equation}\]
Dito de outro modo, na representação de base esférica, as componentes do operador de spin tem elementos de matriz não-nulos determinados por \(\eqref{eq:SP10}\) e \(\eqref{eq:SP11}\).
4 O caso do spin-1/2
Nesta seção, vamos substituir \(S=1/2\) nas equações da [ seção 3 ].
As 2-equações de autovalor do operador de spin são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{S} ^2 \chi _ {\frac{1}{2}m} &= \frac{3}{4} \chi _ {\frac{1}{2}m} , \notag\\ S _ z \chi _ {\frac{1}{2}m} &= m \chi _ {\frac{1}{2}m} . \notag \end{aligned} \label{eq:SP20} \end{equation}\]
O conjunto \(\{\chi_{\frac{1}{2}m}; m=\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}; {\rm total}=2\}\) forma uma base ortonormal:
\[\begin{equation} \chi _ {\frac{1}{2}m}^{\dagger} \chi _ {\frac{1}{2}m'} = \delta _ {mm'} . \label{eq:SP21} \end{equation}\]
Uma função de spin geral pode ser expandida na base esférica \(\{ \chi_{\frac{1}{2}\frac{1}{2}} , \chi_{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} \}\):
\[\begin{equation} \chi = a^{-\frac{1}{2}} \chi _ {\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} \chi _ {\frac{1}{2}\frac{1}{2}} . \label{eq:SP22} \end{equation}\]
Na representação de base esférica, as matrizes das funções de spin esféricas são simples:
\[\begin{equation} \chi _ {\frac{1}{2}\frac{1}{2}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP23a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} . \label{eq:SP23b} \end{equation}\]
Na representação de base esférica, as matrizes das componentes cartesianas do operador de spin são:
\[\begin{equation} S _ x = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP24a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ y = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP24b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ z = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} , \label{eq:SP24c} \end{equation}\]
e as matrizes das componentes esféricas do mesmo operador são:
\[\begin{equation} S _ {+1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP25a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ {-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP25c} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ {0} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} , \label{eq:SP25b} \end{equation}\]
sendo os elementos de matrizes não-nulos determinados pelas equações \(\eqref{eq:SP10}\) e \(\eqref{eq:SP11}\).
5 O caso do spin-1
Nesta seção, vamos substituir \(S=1\) nas equações da [ seção 3 ].
As 2-equações de autovalor do operador de spin são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{S} ^2 \chi _ {1m} &= 2 \chi _ {1m} , \notag\\ S _ z \chi _ {1m} &= m \chi _ {1m} . \notag \end{aligned} \label{eq:SP30} \end{equation}\]
O conjunto \(\{\chi_{1m}; m=1,0,-1; {\rm total}=3\}\) forma uma base ortonormal:
\[\begin{equation} \chi _ {1m}^{\dagger} \chi _ {1m'} = \delta _ {mm'} . \label{eq:SP31} \end{equation}\]
Uma função de spin geral pode ser expandida na base esférica \(\{ \chi_{11} , \chi_{10} , \chi_{1-1} \}\):
\[\begin{equation} \chi = a^{-1} \chi _ {1-1} + a^{0} \chi _ {10} + a^{1} \chi _ {11} . \label{eq:SP32} \end{equation}\]
Na representação de base esférica, as matrizes das funções de spin esféricas são simples:
\[\begin{equation} \chi _ {11} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP33a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {10} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP33b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {1-1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} . \label{eq:SP33c} \end{equation}\]
Na representação de base esférica, as matrizes das componentes cartesianas do operador de spin são:
\[\begin{equation} S _ x = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP34a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ y = \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP34b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ z = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} , \label{eq:SP34c} \end{equation}\]
e as matrizes das componentes esféricas do mesmo operador são:
\[\begin{equation} S _ {+1} = - \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP35a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ {-1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP35b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ {0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} . \label{eq:SP35c} \end{equation}\]
sendo os elementos de matrizes não-nulos determinados pelas equações \(\eqref{eq:SP10}\) e \(\eqref{eq:SP11}\).
NOVOS “OBJETOS”:
As funções de spin cartesianas são as funções \(\chi_i\) \((i=x,y,z)\). Elas podem ser escritas em termos das funções de spin esféricas:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \chi _ {x} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \chi _ {1-1} - \chi _ {11} \right) , \notag\\ \chi _ {y} &= \frac{i}{\sqrt{2}} \left( \chi _ {1-1} + \chi _ {11} \right) , \notag\\ \chi _ {z} &= \chi _ {10} . \notag \end{aligned} \label{eq:SP36} \end{equation}\]
Substituindo \(\eqref{eq:SP33a}\), \(\eqref{eq:SP33b}\) e \(\eqref{eq:SP33c}\) nas relações \(\eqref{eq:SP36}\), determina-se as matrizes das funções de spin cartesianas na representação de base esférica:
\[\begin{equation} \chi _ {x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} , \label{eq:SP37a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {y} = \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} , \label{eq:SP37b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {z} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} . \label{eq:SP37c} \end{equation}\]
Vamos falar mais sobre as funções de spin cartesianas na próxima subseção.
5.1 A representação de base cartesiana
O caso do spin-1 continua, mas agora, na representação de base cartesiana.
Nota: Spin-meio não aceita representação de base cartesiana – ver o exemplo da [ seção 4 ].
O conjunto de funções de spin cartesianas \(\{\chi_{i}; i=x,y,z; {\rm total}=3 \}\) forma uma base de funções, intitulada, base de funções de spin cartesianas, ou simplismente, base cartesiana:
A base é ortonormal:
\[\begin{equation} \chi _ {i}^{\dagger} \chi _ {k} = \delta _ {ik} . \label{eq:SP38a} \end{equation}\]
A matriz da função de spin cartesiana possui os elementos:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \chi _ {i}(\sigma) = \delta _ {i \sigma} , \end{aligned} \label{eq:SP38b} \end{equation}\]
sendo que agora a variável de spin assumi os valores:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \sigma = x, y, z . \end{aligned} \label{eq:SP39} \end{equation}\]
Portanto, na representação de base cartesiana, as matrizes das funções de spin cartesians são simples:
\[\begin{equation} \chi _ {x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP39a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {y} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP39b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {z} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} . \label{eq:SP39c} \end{equation}\]
As funções de spin esféricas podem ser escritas em termos das funções de spin cartesianas:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \chi _ {11} &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \chi _ {x} + i\chi _ {y} \right) , \notag\\ \chi _ {1-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \chi _ {x} - i\chi _ {y} \right) , \notag\\ \chi _ {10} &= \chi _ {z} . \notag \end{aligned} \label{eq:SP40} \end{equation}\]
Substituindo \(\eqref{eq:SP39a}\), \(\eqref{eq:SP39b}\) e \(\eqref{eq:SP39c}\) nas relações \(\eqref{eq:SP40}\), determina-se as matrizes das funções de spin esféricas na representação de base cartesiana:
\[\begin{equation} \chi _ {11} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP41a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {1-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \\ 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP41b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \chi _ {10} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} . \label{eq:SP41c} \end{equation}\]
Comparação: A base esférica na sua própria representação é simples, compare \(\{ \eqref{eq:SP33a}\), \(\eqref{eq:SP33b}\) , \(\eqref{eq:SP33c} \}\) com \(\{ \eqref{eq:SP41a}\), \(\eqref{eq:SP41b}\) , \(\eqref{eq:SP41c} \}\).
Utilizando a base cartesiana para determinar elementos de matriz, os elementos das matrizes das componentes cartesianas do operador de spin são:
\[\begin{equation} \chi _ {k}^{\dagger} S _ i \chi _ {l} \equiv \left(S _ i \right) _ {kl} = -i \, \epsilon _ {ikl} \hspace{1cm} (i,k,l = x,y,z) , \label{eq:SP42a} \end{equation}\]
onde \(\epsilon_{ikl}\) é o tensor de Levi-Civita.
Isso quer dizer que os únicos elementos não-nulos são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left(S _ x \right) _ {yz} = -i , \hspace{1cm} \left(S _ x \right) _ {zy} = i , \notag\\ \left(S _ z \right) _ {xy} = -i , \hspace{1cm} \left(S _ z \right) _ {yx} = i , \notag\\ \left(S _ y \right) _ {zx} = -i , \hspace{1cm} \left(S _ y \right) _ {xz} = i . \end{aligned} \label{eq:SP42b} \end{equation}\]
Então, na representação de base cartesiana, as matrizes das componentes cartesianas do operador de spin são:
\[\begin{equation} S _ {x} = \begin{bmatrix} \left(S _ x \right) _ {xx} & \left(S _ x \right) _ {xy} & \left(S _ x \right) _ {xz} \\ \left(S _ x \right) _ {yx} & \left(S _ x \right) _ {yy} & \left(S _ x \right) _ {yz} \\ \left(S _ x \right) _ {zx} & \left(S _ x \right) _ {zy} & \left(S _ x \right) _ {zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP43a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ {y} = \begin{bmatrix} \left(S _ y \right) _ {xx} & \left(S _ y \right) _ {xy} & \left(S _ y \right) _ {xz} , \\ \left(S _ y \right) _ {xx} & \left(S _ y \right) _ {xy} & \left(S _ y \right) _ {xz} , \\ \left(S _ y \right) _ {yx} & \left(S _ y \right) _ {yy} & \left(S _ y \right) _ {yz} \\ \left(S _ y \right) _ {zx} & \left(S _ y \right) _ {zy} & \left(S _ y \right) _ {zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP43b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ {z} = \begin{bmatrix} \left(S _ z \right) _ {xx} & \left(S _ z \right) _ {xy} & \left(S _ z \right) _ {xz} \\ \left(S _ z \right) _ {yx} & \left(S _ z \right) _ {yy} & \left(S _ z \right) _ {yz} \\ \left(S _ z \right) _ {zx} & \left(S _ z \right) _ {zy} & \left(S _ z \right) _ {zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} . \label{eq:SP43c} \end{equation}\]
As componentes esféricas do operador de spin podem ser escritas em termos das componentes cartesianas desse mesmo operador:
\[\begin{equation} \begin{aligned} S _ {+1} &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \left( S _ {x} + iS _ {y} \right) , \notag\\ S _ {-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( S _ {x} - iS _ {y} \right) , \notag\\ S _ {0} &= S _ {z} . \notag \end{aligned} \label{eq:SP44} \end{equation}\]
Substituindo \(\eqref{eq:SP43a}\), \(\eqref{eq:SP43b}\) e \(\eqref{eq:SP43c}\) nas relações \(\eqref{eq:SP44}\), determina-se as matrizes das componentes esféricas do operador de spin na representação de base cartesiana:
\[\begin{equation} S _ {+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & i \\ -1 & -i & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP45a} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ {-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -i \\ -1 & i & 0 \end{bmatrix} , \label{eq:SP45b} \end{equation}\]
\[\begin{equation} S _ {0} = \begin{bmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} . \label{eq:SP45c} \end{equation}\]
6 Conclusão
A comparação das matrizes de um “objeto” de spin, construídas na representação de base esférica, com as matrizes desse mesmo “objeto,” mas agora construídas na representação de base cartesiana, mostra que o aspecto dessas matrizes depende da base utilizada para construí-las. Para ilustrar, compare as componentes esféricas do operador de spin: \(\{ \eqref{eq:SP35a}\), \(\eqref{eq:SP35b}\) , \(\eqref{eq:SP35c} \}\) com \(\{ \eqref{eq:SP45a}\), \(\eqref{eq:SP45b}\) , \(\eqref{eq:SP45c} \}\).