1 Introdução
Certo dia nosso professor nos ensinou o que é o ESCALAR: Um “objeto” que tem as propriedades dos números reais. Passados alguns anos, outro professor nos falou sobre o VETOR: Um “objeto” que se caracteriza pelas propriedades de módulo, direção e sentido. Prosseguindo nos estudos, mais um professor nos mostrou o OPERADOR VETORIAL: Um “objeto” caracterizado pelas propriedades de uma tríade de operadores. Em um dia notável, o professor Giulio Racah nos apresentou o OPERADOR TENSORIAL IRREDUTÍVEL: Um “objeto” que se caracteriza pelas… Falaremos mais à frente sobre o assunto, mas podemos ver sua definição em: Racah, G., Theory of Complex Spectra. I, Physical Review, 61, p.186 (1942) (Racah 1942a); Racah, G., Theory of Complex Spectra. II, Physical Review, 62, p.438 (1942) (Racah 1942b).
Este artigo tem como objetivo apresentar a definição de Racah para o operador tensorial irredutível e demonstrar que o operador vetorial do momento angular (escrito pelas componentes esféricas) é um operador tensorial irredutível de grau 1.
2 A notação adotada
A notação utilizada é a mesma do livro (L C Biedenharn 1984).
As componentes cartezianas do momento angular \((J_x,J_y,J_z)\) são escritas como \((J_1,J_2,J_3)\), quer dizer, escreve-se o momento angular como:
\[\begin{equation} \newcommand{\vv}[1]{ \mathbf{#1} } \mathbf{J} = J _ 1 \hat{e} _ 1 + J _ 2 \hat{e} _ 2 + J _ 3 \hat{e} _ 3 . \label{eq:RAC1} \end{equation}\]
As componentes esféricas do momento angular \((J_{+1},J_{0},J_{-1})\) são escritas em função das componentes cartezianas:
\[\begin{equation} \begin{aligned} J _ {+1} &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \left( J _ 1 + iJ _ 2 \right) ,\\ J _ {0} &= J _ 3 ,\\ J _ {-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( J _ 1 - iJ _ 2 \right) . \end{aligned} \label{eq:RAC2} \end{equation}\]
Os operadores escada \((J_{+},J_{-})\) são escritos em função dos operadores \((J_1,J_2)\):
\[\begin{equation} \begin{aligned} J _ {+} &= J _ 1 + iJ _ 2 ,\\ J _ {-} &= J _ 1 - iJ _ 2 . \end{aligned} \label{eq:RAC3} \end{equation}\]
Nota 1: Na língua inglesa, os operadores \(\eqref{eq:RAC3}\) são chamados de ladder operators (operadores escada); também são conhecidos como raising and lowering operators (operadores de elevação e de abaixamento).
Nota 2: Inspecionando \(\eqref{eq:RAC2}\) e \(\eqref{eq:RAC3}\), escreve-se as componentes esféricas em termos dos operadores escadas:
\[\begin{equation} \begin{aligned} J _ {+1} &= -\frac{1}{\sqrt{2}} J _ {+} ,\\ J _ {0} &= J _ 3 ,\\ J _ {-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} J _ {-} . \end{aligned} \label{eq:RAC4} \end{equation}\]
3 A definição de Racah
Racah definiu que um “objeto” é um operador tensorial irredutível quando as componentes desse “objeto” satisfazem as regras (Racah 1942b):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ J _ {+},\ T _ {M}^J \right] &= \sqrt{(J-M)(J+M+1)} \ T _ {M+1}^J , \notag \\ \left[ J _ {-},\ T _ {M}^J \right] &= \sqrt{(J+M)(J-M+1)} \ T _ {M-1}^J , \notag \\ \left[ J _ {3},\ T _ {M}^J \right] &= M \ T _ {M}^J . \end{aligned} \label{eq:RAC5} \end{equation}\]
Em \(\eqref{eq:RAC5}\), \(T_{M}^J\) são as componentes do operador tensorial irredutível \( \mathbf{T} ^J\). O grau, ou a ordem de \( \mathbf{T} ^J\) é \(J\). Sendo \(M = J, J-1, \dots , -J\), o operador tensorial é formado por \((2J+1)\) componentes: \(T_{J}^J\), \(T_{J-1}^J\), \(\dots\), \(T_{-J}^J\). De fato, um operador tensorial irredutível de grau \(J\) é um conjunto de \((2J + 1)\) operadores \(T_{M}^J\).
4 Operador vetorial como operador tensorial
Vamos demonstrar que o operador vetorial do momento angular (escrito pelas componentes esféricas) é um operador tensorial irredutível de grau 1. Para isso, vamos resolver — simultaneamente — os lados esquerdo e direito de \(\eqref{eq:RAC5}\) e verificar se há igualdade.
Nota 1: As relações de comutação das componentes Cartesianas do operador do momento angular são:
\[\begin{equation} \bbox[pink, 12px]{ [J _ 1 , J _ 2] = i J _ 3 } \label{eq:RAC9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \bbox[pink, 12px]{ [J _ 3 , J _ 1] = i J _ 2 } \label{eq:RAC10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \bbox[pink, 12px]{ [J _ 2 , J _ 3] = i J _ 1 } \label{eq:RAC11} \end{equation}\]
Nota 2: O símbolo \(\blacksquare\) significa DEMONSTRADO.
Resolução para \(J_{+}\):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ J _ {+},\ J _ {0} \right] &= \sqrt{(1-0)(1+0+1)} \ J _ {0+1}^1 \notag \\ \left[ (J _ 1 + iJ _ 2),\ J _ {3} \right] &= \sqrt{2} \ J _ {+1}^1 \notag \\ \left[ J _ 1,\ J _ {3} \right] + i\left[ J _ 2,\ J _ {3} \right] &= \\ -iJ _ 2 + i(iJ _ 1) &= \\ -(J _ 1 + iJ _ 2) &= \\ \sqrt{2} \ J _ {+1} &= \blacksquare \end{aligned} \label{eq:RAC6} \end{equation}\]
Resolução para \(J_{-}\):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ J _ {-},\ J _ {0} \right] &= \sqrt{(1+0)(1-0+1)} \ J _ {0-1}^1 \notag \\ \left[ (J _ 1 - iJ _ 2),\ J _ {3} \right] &= \sqrt{2} \ J _ {-1}^1 \notag \\ \left[ J _ 1,\ J _ {3} \right] - i\left[ J _ 2,\ J _ {3} \right] &= \\ -iJ _ 2 - i(iJ _ 1) &= \\ (J _ 1 - iJ _ 2) &= \\ \sqrt{2} \ J _ {-1} &= \blacksquare \end{aligned} \label{eq:RAC7} \end{equation}\]
Resolução para \(J_{3}\):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \left[ J _ {3},\ J _ {0} \right] &= 0 \cdot J _ {0}^1 \notag \\ \left[ J _ {3},\ J _ {3} \right] &= \notag \\ 0 &= \blacksquare \end{aligned} \label{eq:RAC8} \end{equation}\]
5 Conclusão
Por obedecerem as regras de Racah \(\eqref{eq:RAC5}\), as componentes esféricas do operador vetorial do momento angular \( \mathbf{J} \) \((J_{+1},J_{0},J_{-1})\) são as componentes do operador tensorial irredutível \( \mathbf{J} ^1\) \((J_{+1}^1,J_{0}^1,J_{-1}^1)\).