Vestir uma camisa e depois uma gravata, ou vestir uma gravata e depois uma camisa, são operações que comutam para uma girafa. Entretanto, são operações que não comutam para os humanos (William J. Thompson). Arte gráfica: Celso de Araujo Duarte

Relações de Comutação do Momento Angular Geométrico

Aprenda a deduzir as relações de comutação do momento angular utilizando argumentos geométricos

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1 Introdução

Há duas maneiras de se discutir o momento angular orbital na mecânica quântica (Thompson 1994). Uma, usa a definição de momento angular clássico, a saber, o produto vetorial da posição da partícula pelo seu momento linear, logo, em seguida, faz-se a conversão dos elementos clássicos pelos operadores quânticos (posição e momento linear) — disso resulta no operador do momento angular orbital — neste ponto, demonstra-se, geralmente, que as componentes deste operador não comutam entre si. A outra, utiliza as propriedades geométricas das rotações e, assim, deduz-se diretamente o operador do momento angular orbital, sem a necessidade de se lançar mão da definição clássica. Por ser um processo exclusivamente geométrico, pode-se chamar este momento angular resultante de momento angular geométrico: um momento angular genuinamente angular — uma função pura de ângulos e derivadas de ângulos, quando escrito em coordenadas esféricas, por exemplo. Por fim, faz-se a conexão do momento angular orbital da geometria com o momento angular orbital da mecânica quântica, acrescentando a constante de Planck ao momento angular orbital geométrico.

O objetivo do artigo é deduzir as relações de comutação entre as componentes do operador do momento angular utilizando apenas ferramentas da geometria: matrizes e operadores de rotação. Isso exclarece “geométrico” utilizado no título: As relações de comutação são desenvolvidas somente com argumentos geométricos.

1.1 Matriz de rotação para rotação em torno do eixo principal \(x\):

\[\begin{equation}\label{eq:MAX1} R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon _ x & -\sin\varepsilon _ x \\ 0 & \sin\varepsilon _ x & \cos\varepsilon _ x \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.2 Matriz de rotação para rotação em torno do eixo principal \(y\):

\[\begin{equation}\label{eq:MAX2} R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) = \begin{bmatrix} \cos\varepsilon _ y & 0 & \sin\varepsilon _ y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\varepsilon _ y & 0 & \cos\varepsilon _ y \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.3 Matriz de rotação para rotação em torno do eixo principal \(z\):

\[\begin{equation}\label{eq:MAX3} R( \varepsilon _ z , \hat{\boldsymbol{\rm z}} ) = \begin{bmatrix} \cos\varepsilon _ z & -\sin\varepsilon _ z & 0 \\ \sin\varepsilon _ z & \cos\varepsilon _ z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.4 Rotações sucessivas através dos eixos \(x\) e \(y\):

\[\begin{equation}\label{eq:MAX4} R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) \ R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon _ x & -\sin\varepsilon _ x \\ 0 & \sin\varepsilon _ x & \cos\varepsilon _ x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\varepsilon _ y & 0 & \sin\varepsilon _ y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\varepsilon _ y & 0 & \cos\varepsilon _ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varepsilon _ y & 0 & \sin\varepsilon _ y \\ \sin\varepsilon _ x\sin\varepsilon _ y & \cos\varepsilon _ x & -\sin\varepsilon _ x\cos\varepsilon _ y \\ -\cos\varepsilon _ x\sin\varepsilon _ y & \sin\varepsilon _ x & \cos\varepsilon _ x\cos\varepsilon _ y \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.5 Rotações sucessivas através dos eixos \(y\) e \(x\):

\[\begin{equation}\label{eq:MAX5} R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) \ R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) = \begin{bmatrix} \cos\varepsilon _ y & 0 & \sin\varepsilon _ y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\varepsilon _ y & 0 & \cos\varepsilon _ y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon _ x & -\sin\varepsilon _ x \\ 0 & \sin\varepsilon _ x & \cos\varepsilon _ x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\varepsilon _ y & \sin\varepsilon _ y\sin\varepsilon _ x & \sin\varepsilon _ y\cos\varepsilon _ x \\ 0 & \cos\varepsilon _ x & -\sin\varepsilon _ x \\ -\sin\varepsilon _ y & \cos\varepsilon _ y\sin\varepsilon _ x & \cos\varepsilon _ y\cos\varepsilon _ x \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.6 Equação \(\eqref{eq:MAX4}\) menos \(\eqref{eq:MAX5}\):

\[\begin{equation}\label{eq:MAX6} \small R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) \ R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) - R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) \ R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) = \begin{bmatrix} 0 & -\sin\varepsilon _ y\sin\varepsilon _ x & \sin\varepsilon _ y - \sin\varepsilon _ y\cos\varepsilon _ x \\ \sin\varepsilon _ x\sin\varepsilon _ y & 0 & -\sin\varepsilon _ x\cos\varepsilon _ y + \sin\varepsilon _ x \\ -\cos\varepsilon _ x\sin\varepsilon _ y +\sin\varepsilon _ y & \sin\varepsilon _ x - \cos\varepsilon _ y\sin\varepsilon _ x & 0 \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.7 Rotações infinitesimais, aproximação de \(\sin \theta \approx \theta\) e \(\cos \theta \approx 1\) na equação \(\eqref{eq:MAX6}\):

\[\begin{equation}\label{eq:MAX7} R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) \ R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) - R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) \ R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) = \begin{bmatrix} 0 & -\varepsilon _ y\varepsilon _ x & \varepsilon _ y - \varepsilon _ y \\ \varepsilon _ x\varepsilon _ y & 0 & -\varepsilon _ x + \varepsilon _ x \\ -\varepsilon _ y +\varepsilon _ y & \varepsilon _ x - \varepsilon _ x & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\varepsilon _ x\varepsilon _ y & 0 \\ \varepsilon _ x\varepsilon _ y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.8 Rotações infinitesimais, aproximação de \(\sin \theta \approx \theta\) e \(\cos \theta \approx 1\) na equação \(\eqref{eq:MAX3}\):

\[\begin{equation}\label{eq:MAX8} R( \varepsilon _ z = \varepsilon _ x\varepsilon _ y, \hat{\boldsymbol{\rm z}} ) = \begin{bmatrix} 1 & -\varepsilon _ x\varepsilon _ y & 0 \\ \varepsilon _ x\varepsilon _ y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.9 Subtração da equação \(\eqref{eq:MAX8}\) pela matriz unidade:

\[\begin{equation}\label{eq:MAX9} R( \varepsilon _ x\varepsilon _ y, \hat{\boldsymbol{\rm z}} ) - \boldsymbol{1} = \begin{bmatrix} 0 & -\varepsilon _ x\varepsilon _ y & 0 \\ \varepsilon _ x\varepsilon _ y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}\]

1.10 A comparação da \(\eqref{eq:MAX7}\) e \(\eqref{eq:MAX9}\) implica em:

\[\begin{equation}\label{eq:MAX10} R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) \ R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) - R( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) \ R( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) = R( \varepsilon _ x\varepsilon _ y, \hat{\boldsymbol{\rm z}} ) - \boldsymbol{1} \end{equation}\]

1.11 Reescrever \(\eqref{eq:MAX10}\) em termos dos operadores de rotação:

\[\begin{equation}\label{eq:MAX11} U( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) \ U( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) - U( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) \ U( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) = U( \varepsilon _ x\varepsilon _ y, \hat{\boldsymbol{\rm z}} ) - \boldsymbol{1} \end{equation}\]

1.12 Os operadores de rotação são exponenciais de operadores do momento angular geométrico:

\[\begin{equation} \begin{aligned} U( \varepsilon _ x , \hat{\boldsymbol{\rm x}} ) &= e^{-i\varepsilon _ xJ _ x} \hspace{0.5cm}\approx\ \boldsymbol{1} - i\varepsilon _ xJ _ x + \dots \notag \\ U( \varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm y}} ) &= e^{-i\varepsilon _ yJ _ y} \hspace{0.5cm}\approx\ \boldsymbol{1} - i\varepsilon _ yJ _ y + \dots \notag \\ U( \varepsilon _ x\varepsilon _ y , \hat{\boldsymbol{\rm z}} ) &= e^{-i\varepsilon _ x\varepsilon _ yJ _ z} \hspace{0.2cm}\approx\ \boldsymbol{1} - i\varepsilon _ x\varepsilon _ yJ _ z + \dots \notag \end{aligned} \label{eq:MAX12} \end{equation}\]

1.13 Rotações infinitesimais, substituição da \(1^a\) ordem de \(\eqref{eq:MAX12}\) na equação \(\eqref{eq:MAX11}\):

\[\begin{equation} -\varepsilon _ x\varepsilon _ y J _ x J _ y +\varepsilon _ y\varepsilon _ x J _ y J _ x = -i \varepsilon _ x\varepsilon _ y J _ z \label{eq:MAX13} \end{equation}\]

1.14 Enfim, deterninação da relação de comutação entre as componentes do operador do momento angular geométrico:

\[\begin{equation} \large \bbox[orange, 12px]{J _ x J _ y - J _ y J _ x = i J _ z} \label{eq:GEO1} \end{equation}\]

1.15 Procedendo de maneira similar, faz-se a substituição cíclica dos rótulos dos eixos, o que resulta em:

\[\begin{equation} \large \bbox[orange, 12px]{J _ y J _ z - J _ z J _ y = i J _ x} \label{eq:GEO2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \large \bbox[orange, 12px]{J _ z J _ x - J _ x J _ z = i J _ y} \label{eq:GEO3} \end{equation}\]

2 A conexão com a mecânica quântica:

A conexão entre o operador do momento angular geométrico e o operador do momento angular quântico (\(q\)) se dá por meio da constante de Planck reduzida: \(J_{qx}=\hbar J_x\), \(J_{qy}=\hbar J_y\) e \(J_{qz}=\hbar J_z\). Nesse sentido, as comutações \(\eqref{eq:GEO1}\), \(\eqref{eq:GEO2}\) e \(\eqref{eq:GEO3}\) se tornam:

\[\begin{equation} \large \bbox[yellow, 12px]{J _ {qx} J _ {qy} - J _ {qy} J _ {qx} = i \hbar J _ {qz}} \label{eq:MQ1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \large \bbox[yellow, 12px]{J _ {qy} J _ {qz} - J _ {qz} J _ {qy} = i \hbar J _ {qx}} \label{eq:MQ2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \large \bbox[yellow, 12px]{J _ {qz} J _ {qx} - J _ {qx} J _ {qz} = i \hbar J _ {qy}} \label{eq:MQ3} \end{equation}\]

Referências

Thompson, W J. 1994. Angular Momentum: An Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems. 1st ed. Wiley-VCH, ISBN 978-0471552642.
Momento angular
Cássio Sanguini Sergio
Físico

Meus interesses de pesquisa incluem aglomerados e semicondutores.

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