Vestir uma camisa e depois uma gravata, ou vestir uma gravata e depois uma camisa, são operações que comutam para uma girafa. Entretanto, são operações que não comutam para os humanos (William J. Thompson). Arte gráfica: Celso de Araujo Duarte

Relações de Comutação do Momento Angular Geométrico

Aprenda a deduzir as relações de comutação do momento angular utilizando argumentos geométricos

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1 Introdução

Há duas maneiras de se discutir o momento angular orbital na mecânica quântica (Thompson 1994). Uma, usa a definição de momento angular clássico, a saber, o produto vetorial da posição da partícula pelo seu momento linear, logo, em seguida, faz-se a conversão dos elementos clássicos pelos operadores quânticos (posição e momento linear) — disso resulta no operador do momento angular orbital — neste ponto, demonstra-se, geralmente, que as componentes deste operador não comutam entre si. A outra, utiliza as propriedades geométricas das rotações e, assim, deduz-se diretamente o operador do momento angular orbital, sem a necessidade de se lançar mão da definição clássica. Por ser um processo exclusivamente geométrico, pode-se chamar este momento angular resultante de momento angular geométrico: um momento angular genuinamente angular — uma função pura de ângulos e derivadas de ângulos, quando escrito em coordenadas esféricas, por exemplo. Por fim, faz-se a conexão do momento angular orbital da geometria com o momento angular orbital da mecânica quântica, acrescentando a constante de Planck ao momento angular orbital geométrico.

O objetivo do artigo é deduzir as relações de comutação entre as componentes do operador do momento angular utilizando apenas ferramentas da geometria: matrizes e operadores de rotação. Isso exclarece “geométrico” utilizado no título: As relações de comutação são desenvolvidas somente com argumentos geométricos.

1.1 Matriz de rotação para rotação em torno do eixo principal x:

R(εx,ˆx)=[1000cosεx−sinεx0sinεxcosεx]

1.2 Matriz de rotação para rotação em torno do eixo principal y:

R(εy,ˆy)=[cosεy0sinεy010−sinεy0cosεy]

1.3 Matriz de rotação para rotação em torno do eixo principal z:

R(εz,ˆz)=[cosεz−sinεz0sinεzcosεz0001]

1.4 Rotações sucessivas através dos eixos x e y:

R(εx,ˆx) R(εy,ˆy)=[1000cosεx−sinεx0sinεxcosεx][cosεy0sinεy010−sinεy0cosεy]=[cosεy0sinεysinεxsinεycosεx−sinεxcosεy−cosεxsinεysinεxcosεxcosεy]

1.5 Rotações sucessivas através dos eixos y e x:

R(εy,ˆy) R(εx,ˆx)=[cosεy0sinεy010−sinεy0cosεy][1000cosεx−sinεx0sinεxcosεx]=[cosεysinεysinεxsinεycosεx0cosεx−sinεx−sinεycosεysinεxcosεycosεx]

1.6 Equação (4) menos (5):

R(εx,ˆx) R(εy,ˆy)−R(εy,ˆy) R(εx,ˆx)=[0−sinεysinεxsinεy−sinεycosεxsinεxsinεy0−sinεxcosεy+sinεx−cosεxsinεy+sinεysinεx−cosεysinεx0]

1.7 Rotações infinitesimais, aproximação de sinθ≈θ e cosθ≈1 na equação (6):

R(εx,ˆx) R(εy,ˆy)−R(εy,ˆy) R(εx,ˆx)=[0−εyεxεy−εyεxεy0−εx+εx−εy+εyεx−εx0]=[0−εxεy0εxεy00000]

1.8 Rotações infinitesimais, aproximação de sinθ≈θ e cosθ≈1 na equação (3):

R(εz=εxεy,ˆz)=[1−εxεy0εxεy10001]

1.9 Subtração da equação (8) pela matriz unidade:

R(εxεy,ˆz)−1=[0−εxεy0εxεy00000]

1.10 A comparação da (7) e (9) implica em:

R(εx,ˆx) R(εy,ˆy)−R(εy,ˆy) R(εx,ˆx)=R(εxεy,ˆz)−1

1.11 Reescrever (10) em termos dos operadores de rotação:

U(εx,ˆx) U(εy,ˆy)−U(εy,ˆy) U(εx,ˆx)=U(εxεy,ˆz)−1

1.12 Os operadores de rotação são exponenciais de operadores do momento angular geométrico:

U(εx,ˆx)=e−iεxJx≈ 1−iεxJx+…U(εy,ˆy)=e−iεyJy≈ 1−iεyJy+…U(εxεy,ˆz)=e−iεxεyJz≈ 1−iεxεyJz+…

1.13 Rotações infinitesimais, substituição da 1a ordem de (12) na equação (11):

−εxεyJxJy+εyεxJyJx=−iεxεyJz

1.14 Enfim, deterninação da relação de comutação entre as componentes do operador do momento angular geométrico:

JxJy−JyJx=iJz

1.15 Procedendo de maneira similar, faz-se a substituição cíclica dos rótulos dos eixos, o que resulta em:

JyJz−JzJy=iJx

JzJx−JxJz=iJy

2 A conexão com a mecânica quântica:

A conexão entre o operador do momento angular geométrico e o operador do momento angular quântico (q) se dá por meio da constante de Planck reduzida: Jqx=ℏJx, Jqy=ℏJy e Jqz=ℏJz. Nesse sentido, as comutações (14), (15) e (16) se tornam:

JqxJqy−JqyJqx=iℏJqz

JqyJqz−JqzJqy=iℏJqx

JqzJqx−JqxJqz=iℏJqy

Referências

Thompson, W J. 1994. Angular Momentum: An Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems. 1st ed. Wiley-VCH, ISBN 978-0471552642.
Momento angular
Cássio Sanguini Sergio
Físico

Meus interesses de pesquisa incluem aglomerados e semicondutores.

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