1 Introdução
O artigo é breve, mas prático — trata-se de uma revisão sobre algumas operações em matrizes. Acompanha a nomenclatura de (Thompson 1994): A operação é nomeada em inglês e traduzida para o português. A inspeção visual nas linhas e colunas das matrizes é suficiente para se endender o fundamento das operações. O assunto tem relevância na Mecânica Quântica, em especial, na representação matricial de operadores. Por exemplo, um operador unitário é descrito por uma matriz unitária que tem como característica deixar inalterado o produto escalar, algo apreciado na descrição das rotações. Outro exemplo, as grandezas físicas que podem ser medidas, observadas, são representadas por operadores Hermitianos, retratadas por matrizes Hermitianas. Uma matriz Hermitiana tem como principal característica fornecer autovalores reais e autovetores ortogonais, algo fundamental para se descrever os observáveis.
2 Dada a matriz P:
\[\begin{equation}\notag P = \begin{bmatrix} a+i & b+i & c+i \\ x+i & y+i & z+i \\ \alpha+i & \beta+i & \gamma+i \end{bmatrix} \end{equation}\]
2.1 A sua matriz transposta é (transpose):
\[\begin{equation}\label{eq:MAX1} \widetilde{P} = \begin{bmatrix} a+i & x+i & \alpha+i \\ b+i & y+i & \beta+i \\ c+i & z+i & \gamma+i \end{bmatrix} \end{equation}\]
2.2 E a sua matriz conjugada complexa é (complex conjugate):
\[\begin{equation}\label{eq:MAX2} P^{\ast} = \begin{bmatrix} a-i & b-i & c-i \\ x-i & y-i & z-i \\ \alpha-i & \beta-i & \gamma-i \end{bmatrix} \end{equation}\]
2.3 E a sua matriz conjugada Hermitiana é (hermitian conjugate):
\[\begin{equation}\label{eq:MAX3} P^{\dagger} = \begin{bmatrix} a-i & x-i & \alpha-i \\ b-i & y-i & \beta-i \\ c-i & z-i & \gamma-i \end{bmatrix} = \widetilde{ P^{\ast} } \end{equation}\]
3 Dada a matriz H e sua conjugada complexa:
\[\begin{equation}\notag H = \begin{bmatrix} \alpha & a+i & b-i \\ a-i & \beta & c+i \\ b+i & c-i & \gamma \end{bmatrix} \end{equation}\]
\[\begin{equation}\notag H^{\ast} = \begin{bmatrix} \alpha & a-i & b+i \\ a+i & \beta & c-i \\ b-i & c+i & \gamma \end{bmatrix} \end{equation}\]
3.1 É matriz Hermitiana se ocorrer (hermitian):
\[\begin{equation}\label{eq:MAX4} H^{\dagger} = \begin{bmatrix} \alpha & a+i & b-i \\ a-i & \beta & c+i \\ b+i & c-i & \gamma \end{bmatrix} = H \end{equation}\]
Característica: A diagonal é real e, fora da diagonal, há pares de complexo conjugado.
Nota: Uma matriz Hermitiana, de elementos reais, é chamada de matriz simétrica real.
4 Dada a matriz U e sua conjugada Hermitiana:
\[\begin{equation}\notag U = \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{equation}\]
\[\begin{equation}\notag U^{\dagger} = \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{equation}\]
4.1 É matriz inversa se ocorrer (inverse):
\[\begin{equation}\label{eq:MAX5} \begin{array}{l} \hspace{3.7cm} U U ^ {-1} = I , \text{ ou seja}, \\ \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a _ 1 & b _ 1 & c _ 1 \\ a _ 2 & b _ 2 & c _ 2 \\ a _ 3 & b _ 3 & c _ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \implies U ^ {-1} = \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{array} \end{equation}\]
4.2 E é matriz unitária se ocorrer (unitary):
\[\begin{equation}\label{eq:MAX6} U^{\dagger} = \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = U ^ {-1} \end{equation}\]
5 Notas
\((1)\) Multiplicando \(\eqref{eq:MAX6}\) por \(U\), e usando \(\eqref{eq:MAX5}\), também é matriz unitária se ocorrer \(U U^{\dagger} = I\).
\((2)\) \(U\) é unitária, mas não é Hermitiana: \(U^{\dagger} \ne U\).
\((3)\) Dependendo da matriz pode ocorrer dela:
Ser Hermitiana e ser unitária;
Ser Hermitiana e não ser unitária;
Não ser Hermitiana e ser unitária;
Não ser Hermitiana e não ser unitária.
\((4)\) Uma matriz unitária, de elementos reais, é chamada de matriz ortogonal (suas colunas são vetores ortogonais).