1 Introdução

Há duas maneiras de se discutir o momento angular orbital na mecânica quântica (Thompson 1994). Uma, usa a definição do momento angular clássico, a saber, o produto vetorial da posição da partícula pelo seu momento linear, logo, em seguida, faz-se a conversão dos elementos clássicos pelos operadores quânticos (posição e momento linear) — disso resulta no operador do momento angular orbital. A outra, utiliza as propriedades geométricas das rotações e, assim, deduz-se diretamente o operador do momento angular orbital, sem a necessidade de se lançar mão da definição clássica.

O objetivo deste artigo é deduzir o operador do momento angular orbital partindo da definição clássica do momento angular. Ademais, apresentar suas autofunções, seus autovalores e sua representação matrial.

2 O momento angular orbital

O momento angular orbital é representado por L. Ele é definido pelo produto vetorial L=r×p (Herbert Goldstein 2001). Conforme se vê na Figura 2.1, o momento angular orbital se relaciona com o ângulo α entre a posição r e o momento linear p. Seu módulo é: |L|=rpsenα, e sua direção é perpendicular ao plano que contém os vetores r e p. Já seu sentido é determinado pela regra da mão direita, fazendo r correr em direção à p.

A natureza radial e angular do momento angular orbital favorece um sistema de coordenadas não-cartesiano, como o sistema esférico, de coordenadas radial r, polar θ e azimutal ϕ, sendo as faixas de valores: 0⩽r<∞, 0⩽θ⩽π, 0⩽ϕ⩽2π.

Figura 2.1: O momento angular orbital clássico.

A Figura 2.1 mostra que o momento angular orbital clássico é o vetor L=(Lx,Ly,Lz). Na mecânica quântica, o momento angular orbital continua sendo um vetor, no sentido de possuir 3 componentes, todavia, o tratamento quântico utiliza operadores nos lugares dos elementos clássicos (Liboff 2002). O vetor, então, é um vetor de operadores representado por ˆL=(ˆLx,ˆLy,ˆLz).

No sistema cartesiano, as componentes do momento angular orbital clássico podem ser determinadas pelo determinante:

L=|ˆexˆeyˆezxyzpxpypz|.

O que resulta em:

Lx=ypz−zpy;Ly=zpx−xpz;Lz=xpy−ypx.

Na mecânica quântica, o operador do momento angular orbital deriva diretamente da estrutura do L, fazendo a conversão dos elementos clássicos em operadores:

x→ˆx=x;y→ˆy=y;z→ˆz=z;px→ˆpx=−ıℏ∂∂x;py→ˆpy=−ıℏ∂∂y;pz→ˆpz=−ıℏ∂∂z.

Substituindo (2.2) em (2.3), as componentes do operador ˆL se escrevem:

ˆLx=ˆyˆpz−ˆzˆpy=−ıℏ(y∂∂z−z∂∂y);ˆLy=ˆzˆpx−ˆxˆpz=−ıℏ(z∂∂x−x∂∂z);ˆLz=ˆxˆpy−ˆyˆpx=−ıℏ(x∂∂y−y∂∂x).

Em (2.4) temos as componentes cartezianas do ˆL escritas em função das coordenadas cartezianas. Agora, em função das coordenadas esféricas, as componentes cartezianas do ˆL se escrevem:

ˆLx=ıℏ(senϕ∂∂θ+cotgθcosϕ∂∂ϕ);ˆLy=ıℏ(−cosϕ∂∂θ+cotgθsenϕ∂∂ϕ);ˆLz=−ıℏ∂∂ϕ.

Como vimos, o operador do L=(Lx,Ly,Lz) é o operador ˆL=(ˆLx,ˆLy,ˆLz), de componentes cartezianas (2.4) ou (2.5): Escrito na forma (2.5), não se atua na coordenada radial r, somente nas coordenadas angulares θ e ϕ.

O operador do momento angular orbital, ao quadrado, se escreve:

ˆL2=ˆL⋅ˆL=ˆL2x+ˆL2y+ˆL2z.

Em função das coordenadas esféricas, a equação (2.6) tem a forma:

ˆL2=−ℏ2(∂2∂θ2+cotgθ∂∂θ+1sen2θ∂2∂ϕ2).

3 Autofunções e autovalores do momento angular orbital

A caracterização do momento angular clássico pode ser feita apontando os valores de suas 3 componentes, Lx, Ly e Lz (simultâneamente), o que leva a conhecer o valor do módulo ou magnitude L.

O tratamento quântico não caracteriza o momento angular por discriminar os valores das 3 componentes. Conforme esclarece (Liboff 2002), simultâneamente, determina-se os valores do módulo e de apenas 1 componente do momento angular — geralmente, prefere-se especificar a componente z.

Vamos explicitar os valores de L2 e Lz através das equações de autovalor dos operadores ˆL2 e ˆLz. As formas (2.5) e (2.7) não dependem da coordenada radial, por isso, as equações de autovalor geram autofunções que dependem somente das coordenadas angulares:

ˆL2Yl,m=L2Yl,m;ˆLzYl,m=LzYl,m.

Os autovalores L2 e Lz possuem os seguintes valores:

L2=l(l+1)ℏ2;Lz=mℏ.

Apesar de ˆL2 e ˆLz compartilharem as autofunções, os autovalores são bem diferentes: ver as equações (3.1) e (3.2).

As autofunções Yl,m(θ,ϕ) são conhecidas como harmônicos esféricos. O número l é o número quântico orbital e o número m é o número quântico azimutal, ou número quântico magnético. Os valores do número quântico orbital são: l=0,1,2,3,⋯. Para cada l, os valores do número quântico azimutal são: m=l,(l−1),(l−2),⋯,−l. A Figura 3.1 torna explícito os harmônicos esféricos para l=0,1,2,3.

Figura 3.1: Alguns harmônicos esféricos.

Dada uma partícula com momento angular orbital de magnitude L=√l(l+1)ℏ e componente z, Lz=mℏ, a densidade de probabilidade da posição (θ,ϕ) é determinada pela relação:

|Yl,m|2=Y∗l,m(θ,ϕ)Yl,m(θ,ϕ),

e a probabilidade de essa partícula estar entre (θ1,θ2) e (ϕ1,ϕ2) é determinada pela integral:

Pl,m=θ2∫θ1ϕ2∫ϕ1|Yl,m|2 dΩ.

Os harmônicos esféricos são funções normalizadas e ortogonais, pois:

π∫θ=02π∫ϕ=0|Yl,m|2 dΩ=1,  se ˉl=l e ¯m=m;=0,  caso contrˊario.

Nota: dΩ=senθdθdϕ.

Observando a Figura 3.1, conclui-se que a densidade de probabilidade não depende do ângulo ϕ. Por causa disso, pode-se fazer a representação gráfica da densidade de probabilidade anexando o valor de |Yl,m|2 a um raio R(θ). Daí, fazendo a varredura angular de θ, o raio R(θ) “desenha” pelo espaço, a densidade de probabilidade na forma de uma curva esfericamente simétrica. As Figuras 3.2, 3.3 e 3.4 apresentam as curvas das densidades de probabilidade geradas por esse método.

Figura 3.2: Densidade de probabilidade para l = 0 e l = 1.

Figura 3.3: Densidade de probabilidade para l = 2.

Figura 3.4: Densidade de probabilidade para l = 3.

Como foram construídos, os contornos das curvas indicam a magnitude da densidade de probabilidade na direção do ângulo polar θ, sendo que esse ângulo parte do eixo z. Para auxiliar a visualização, setas, indicando a magnitude da densidade, foram desenhadas em certas direções angulares. Visto que a densidade de probabilidade não depende do ângulo azimutal ϕ, as figuras devem ser rodadas sobre o eixo z para se visualizar as figuras das densidades tridimensionais. Como se vê, exceto para l=0, que gera uma densidade constante, as demais densidades de probabilidade apresentam preferências angulares. Por exemplo, observando a Figura 3.2, a maior probabilidade de encontrar a partícula no estado Y1,0 é em θ=00, todavia, se a partícula estiver no estado Y1,1, a maior probabilidade de encontrá-la será em θ=900, pois, em θ=00, a probabilidade é zero.

4 Operadores compatíveis e incompatíveis

Neste capítulo, vamos analisar situações em que se manifesta momento angular orbital, nosso objetivo, é entender quando dois operadores são compatíveis e quando são incompatíveis.

Considere uma partícula orbitando livre em torno de um ponto central, como se estivesse sobre a superfície de uma esfera, executando “voltas e mais voltas.” À rotação associa-se um momento angular orbital. Nós, então, montamos uma experiência para medir a magnitude do momento angular. Vamos supor que encontramos L=√12ℏ, correspondente ao número quântico orbital l=3. Logo em seguida, montamos outra experiência para medir a componente z do momento angular orbital de magnitude √12ℏ. Quais seriam os possíveis resultados da nova experiência? A previsão quântica diz que poderíamos encontrar qualquer um dos seguintes valores:

Lz=3ℏ,ou=2ℏ,ou=1ℏ,ou=0ℏ,ou=−1ℏ,ou=−2ℏ,ou=−3ℏ.

Os possíveis resultados (4.1) podem ser geometricamente representados por vetores de comprimento proporcional à √12ℏ, orientados de tal maneira que suas projeções no eixo z sejam proporcionais aos valores de Lz, conforme aparece na Figura 4.1.

Figura 4.1: Ilustração dos momentos angulares orbitais (4.1) .

Após a primeira medição, discernimos qual a magnitude do momento angular, mas ainda não sabemos sua direção, pois há 7 possibilidades — ver novamente a Figura 4.1. Diz-se que L=√12ℏ é 7 vezes degenerado, e conclui-se que está associado a uma superposição de 7 autoestados: Y3,3,Y3,2,Y3,1,Y3,0,Y3,−1,Y3,−2,Y3,−3.

Vamos, então, supor que uma segunda medição resulte em Lz=2ℏ, equivalente ao número quântico azimutal m=2. Agora podemos discernir qual é a direção do momento angular orbital, pois somos induzidos a perceber de que se trata do segundo momento da Figura 4.1.

Concluímos, após os dois experimentos mentais, que a partícula estaria no estado Y3,2, autoestado comum de ˆL2 e ˆLz. Concluímos, também, que a 1a_ experiência, relacionada com ˆL2, somente revela o valor do módulo do momento angular orbital, e que a 2a_ experiência, relacionada com ˆLz, completa a caracterização desse momento, ajudando a distinguir qual é a sua orientação.

⧫  E se mudássemos a ordem das experiências?

A Figura 4.2 ilustra a nova sequência: 1a_ experiência relacionada com ˆLz, 2a_ experiência relacionada com ˆL2.

Ao fazer a medição da componente z do momento angular orbital, iríamos encontrar Lz=2ℏ. Daí, perguntaríamos: Qual é o valor do módulo? A resposta estaria condicionada aos valores que satisfizessem a expressão L=√l(l+1)ℏ:

L=0,ou=√2ℏ,ou=√6ℏ,ou=√12ℏ,ou=√20ℏ, ⋮

Em seguida, faríamos a medição do módulo, por exemplo, com resultado L=√12ℏ. Por fim, saberíamos que a partícula se encontra no estado Y3,2, representado pelo terceiro vetor da Figura 4.2.

Figura 4.2: Ilustração dos momentos angulares orbitais (4.2).

As experiências que acabamos de considerar, nos ajudam a entender que os operadores ˆL2 e ˆLz possibilitam a montagem de experiências compatíveis (que podem coexistir), sendo o registro da experiência ˆL2 complementar ao registro da experiência ˆLz, e vice-versa. Dizemos, então, que os operadores ˆL2 e ˆLz são operadores compatíveis.

Todavia, há situações em que as experiências são incompatíveis. Por exemplo, se montássemos experiências realcionadas com ˆLz e ˆLx, chegaríamos à conclusão que a experiência ˆLx não completaria a informação da experiência ˆLz. Isso porque o autoestado de ˆLx não é solução da equação de autoestado de ˆLz. Nesse caso, dizemos que os operadores ˆLz e ˆLx são operadores incompatíveis.

Experiências compatíveis só ocorrem quando os operadores compartilham o mesmo conjunto de autoestados, como o par ˆL2 e ˆLz, que usa o conjunto Yl,m em comum. E, para saber se dois operadores, por exemplo, ˆA e ˆB, são operadores compatíveis e têm autofunções em comum, usa-se uma ferramenta matemática chamada comutador:

[ˆA,ˆB]=ˆAˆB−ˆBˆA.

Daí, diz-se que ˆA e ˆB são operadores compatíveis e possuem autofunções em comum, se ˆA e ˆB comutam entre si, ou seja, se:

ˆAˆB=ˆBˆA ⟹ [ˆA,ˆB]=0.

O teste do comutador mostra que as componentes do operador do momento angular não comutam entre si:

[ˆLx,ˆLy]=ıℏˆLz;[ˆLy,ˆLz]=ıℏˆLx;[ˆLz,ˆLx]=ıℏˆLy.

Por outro lado, ˆL2 comuta com todas componentes do ˆL:

[ˆL2,ˆLx]=0;[ˆL2,ˆLy]=0;[ˆL2,ˆLz]=0.

Usando o critério (4.4) , pode-se afirmar que os operadores (4.5) são incompatíveis (não compartilham suas autofunções), já os operadores (4.6) são compatíveis e, por isso, compartilham suas autofunções: Segundo (3.1) , compartilham as autofunções harmônicos esféricos — ver a Figura 3.1.

Uma visão extendida de operações e propriedades de comutadores pode ser vista na Figura 4.3.

Figura 4.3: Operações e propriedades de comutadores.

5 O princípio de incerteza generalizado

O princípio de incerteza é de autoria de W. Heisenberg (Heisenberg 1927). Uma formulação geral e aplicada em particular ao caso do momento angular foi publicada por H.P. Robertson (Robertson 1929). A formulação generalizada se aplica a qualquer par de operadores ˆA e ˆB, que possuem autovalores A e B:

ΔAΔB⩾12|⟨ı[ˆA,ˆB]⟩|.

A sequência matemática em (5.1) é: (1o_) fazer o comutador [⋯], (2o_) fazer o valor esperado ⟨⋯⟩, e (3o_) fazer o módulo |⋯|.

Vamos, então, desenvolver o princípio de incerteza generalizado utilizando os operadores ˆLx e ˆLy, de autovalores Lx e Ly, respectivamente:

ΔLxΔLy⩾12|⟨ı[ˆLx,ˆLy]⟩|.

Segundo (4.5), o (1o_) passo resulta em:

ı[ˆLx,ˆLy]=−ℏˆLz.

O (2o_) passo resulta em:

⟨ı[ˆLx,ˆLy]⟩=−ℏ⟨ˆLz⟩.

E o (3o_) passo resulta em:

|⟨ı[ˆLx,ˆLy]⟩|=ℏ|⟨ˆLz⟩|.

Levando o resultado (5.5) ao princípio (5.1), tem-se:

ΔLxΔLy⩾12ℏ|⟨ˆLz⟩|.

A relação (5.6) exige que se determine o valor esperado do operador ˆLz. Para isso, vamos supor uma partícula no autoestado Y3,2, de número azimutal m=2. Por meio de (3.1): ˆLzY3,2=2ℏY3,2. Ademais, usando o fato dos harmônicos esféricos serem funções normalizadas e ortogonais (3.5):

⟨ˆLz⟩=π∫θ=02π∫ϕ=0Y∗3,2ˆLzY3,2 dΩ=2ℏπ∫θ2π∫ϕY∗3,2Y3,2 dΩ=2ℏ.

Portanto, substituindo (5.7) em (5.6):

ΔLxΔLy⩾ℏ2.

No geral, supondo a partícula no autoestado Yl,m, tem-se:

⟨ˆLz⟩=mℏ;

o que implica em:

ΔLxΔLy⩾12mℏ2.

Como se deve interpretar o resultado (5.10)? A partícula é preparada em Yl,m: autoestado de ˆLz, mas não de ˆLx, nem de ˆLy. Por isso, em uma medição de Lx, qualquer autovalor de ˆLx poderá fazer parte do registro. Em uma série de medições, o espectro dos resultados fica disperso, com desvio padrão ΔLx. Analogamente, em medições de Ly, o espectro dos resultados também é disperso, com desvio padrão ΔLy. O resultado (5.10) garante que o produto das dispersões parte de 12mℏ2, não podendo ser menor.

A respeito dos autovalores dos operadores ˆLx e ˆLy, entende-se que todas direções no espaço são fisicamente equivalentes, não há motivo para a quantização do eixo x ou y ser diferente da quantização do eixo z. Se o autovalor de ˆLz é o valor Lz=mℏ, os autovalores de ˆLx e ˆLy serão os valores Lx=mxℏ e Ly=myℏ, sendo mx e my inteiros dependentes do número quântico orbital: mx=l,(l−1),...,−l; e my=l,(l−1),...,−l.

Em nossa mente, estamos trabalhando com uma partícula preparada no estado Y3,2, caracterizada com L=√12ℏ e, especificamente, possuindo componente z igual a Lz=2ℏ. Uma experiência, montada para efetuar a medição da componente x dessa partícula, tem como possíveis resultados os autovalores de ˆLx:

Lx=3ℏ,ou=2ℏ,ou=1ℏ,ou=0ℏ,ou=−1ℏ,ou=−2ℏ,ou=−3ℏ.

Em uma série de medições, de partículas no estado Y3,2, o resultado médio será:

⟨ˆLx⟩=3ℏ+2ℏ+1ℏ+0−1ℏ−2ℏ−3ℏ7=0.

Analogamente, se a experiência fosse montada para efetuar a medição da componente y:

⟨ˆLy⟩=3ℏ+2ℏ+1ℏ+0−1ℏ−2ℏ−3ℏ7=0.

As médias (5.12) e (5.13) resultam em zero, mas, individualmente, as leituras das medições vão se distribuir em curvas estatísticas, tipo gaussiana, com grau de dispersão ΔLx e ΔLy e produto (5.10).

A respeito dos autoestados dos operadores ˆLx e ˆLy, pode-se representá-los por |l,mx⟩x e |l,my⟩y, respectivamente. Então, antes de se iniciar a medição de Lx, o estado Y3,2 está em uma superposição linear de |l,mx⟩x, do tipo:

Y3,2=Cx3|3,3⟩x+Cx2|3,2⟩x+Cx1|3,1⟩x+Cx0|3,0⟩x+Cx−1|3,−1⟩x+Cx−2|3,−2⟩x+Cx−3|3,−3⟩x.

Em (5.14), |Cxmx|2 é a probabilidade do estado |3,mx⟩x ser o estado final da experiência. Usando os coeficientes da superposição, o valor esperado se escreve:

⟨ˆLx⟩=|Cx3|2(3ℏ)+|Cx2|2(2ℏ)+|Cx1|2(1ℏ)+|Cx0|2(0)+|Cx−1|2(−1ℏ)+|Cx−2|2(−2ℏ)+|Cx−3|2(−3ℏ)=0.

Nota: A equação (5.12) é um caso especial da equação (5.15), quando se considera igualdade de probabilidades, ou seja, |Cxmx|2=17.

Analogamente, se a experiência fosse montada para efetuar a medição da componente y do momento angular orbital, de partículas preparadas no estado Y3,2, teríamos:

Y3,2=Cy3|3,3⟩y+Cy2|3,2⟩y+Cy1|3,1⟩y+Cy0|3,0⟩y+Cy−1|3,−1⟩y+Cy−2|3,−2⟩y+Cy−3|3,−3⟩y.

E o valor esperado seria:

⟨ˆLy⟩=|Cy3|2(3ℏ)+|Cy2|2(2ℏ)+|Cy1|2(1ℏ)+|Cy0|2(0)+|Cy−1|2(−1ℏ)+|Cy−2|2(−2ℏ)+|Cy−3|2(−3ℏ)=0.

6 O operador de levantamento e de abaixamento

Agora vamos desenvolver ferramentas matemáticas que nos ajudarão a resolver o que está faltando em (6.1):

ˆLxYl,m=?ˆLyYl,m=?ˆLzYl,m=mℏYl,m.

Respectivamente, o operador de levantamento e o operador de abaixamento são definidos como:

ˆL+Yl,m=C+Yl,m+1;ˆL−Yl,m=C−Yl,m−1;

onde:

C+=ℏ√l(l+1)−m(m+1);C−=ℏ√l(l+1)−m(m−1).

Os nomes são apropriados, pois o operador ˆL+ levanta o estado Yl,m para o estado Yl,m+1, enquanto que o operador ˆL− abaixa o estado Yl,m para o estado Yl,m−1. Por exemplo:

ˆL+Y1,1  =0;ˆL+Y1,0  =ℏ√2 Y1,1;ˆL+Y1,−1=ℏ√2 Y1,0.

Outro exemplo:

ˆL−Y1,1  =ℏ√2 Y1,0;ˆL−Y1,0  =ℏ√2 Y1,−1;ˆL−Y1,−1=0.

Os operadores ˆL+ e ˆL− definem os operadores ˆLx e ˆLy, da seguinte maneira:

ˆLx=12(ˆL++ˆL−);ˆLy=12ı(ˆL+−ˆL−).

Podemos, então, completar (6.1):

ˆLxYl,m=12(C+Yl,m+1+C−Yl,m−1);ˆLyYl,m=12ı(C+Yl,m+1−C−Yl,m−1);ˆLzYl,m=mℏYl,m.

Buscando a expressão do desvio padrão da componente x do momento angular orbital, tem-se que determinar:

ΔLx=√⟨ˆL2x⟩−⟨ˆLx⟩2.

Primeiro passo, determinar o valor esperado da componente x do operador do momento angular orbital, usando o fato dos harmônicos esféricos serem funções ortogonais (3.5):

⟨ˆLx⟩=π∫θ2π∫ϕY∗l,mˆLxYl,m dΩ=12π∫θ2π∫ϕY∗l,mˆL+Yl,m dΩ+12π∫θ2π∫ϕY∗l,mˆL−Yl,m dΩ=12C+π∫θ2π∫ϕY∗l,mYl,m+1 dΩ+12C−π∫θ2π∫ϕY∗l,mYl,m−1 dΩ=0.

Nota: O resultado geral (6.9) confirma o resultado específico (5.12).

Segundo passo, determinar o quadrado das componentes x e y do operador do momento angular orbital:

ˆL2x=12(ˆL++ˆL−)12(ˆL++ˆL−)=14(ˆL2++ˆL+ˆL−+ˆL−ˆL++ˆL2−).

ˆL2y=12ı(ˆL+−ˆL−)12(ˆL+−ˆL−)=14(−ˆL2++ˆL+ˆL−+ˆL−ˆL+−ˆL2−).

Ao somar (6.10) e (6.11), lembrando que ˆL2=ˆL2x+ˆL2y+ˆL2z, escreve-se:

ˆL2−ˆL2z=12(ˆL+ˆL−+ˆL−ˆL+).

Terceiro passo, usando (6.10), determinar o valor esperado do quadrado da componentes x do operador do momento angular orbital: